Problema con equazione differenziale del secondo ordine non omogenea

[andrea.onorati]

Salve ragazzi, mi trovo ad affrontare questo esercizio, e mi chiedevo se qualcuno fosse così gentile da potermi spiegare come si applica il Metodo di Somiglianza:

$ y'' + (α+1)y' + αy = α^3$

procedo così:
Scrivo l'omogenea
$ y'' + (α+1)y' + αy = 0$

Trovo le soluzioni della sua eq. caratteristica
$ z^2 + (α+1)z + α = 0$ da cui: $z1=-α$ e $z2=-1$

Scrivo la soluzione generale della eq. differenziale
$y(x)= Ae^(-αx)+Be^(-x)$

a questo punto devo scrivere la soluzione generale, e mi viene indicato dal testo l'utilizzo del "Metodo di Somiglianza"
e vorrei capire passo passo come si utilizza e come si arriva alla soluzione finale dell'equazione differenziale.

Grazie ragazzi, come sempre!

[seb1]

Beh, ma qui non ti serve nemmeno il metodo della somiglianza "vero e proprio". Ti basta notare che se \(y=\alpha^2\) hai concluso. Ad ogni modo il metodo della simiglianza sfrutta esattamente questa idea, adattandola caso per caso: rappresenta, cioè, una classe di metodi di risoluzione ad hoc per particolari tipi di equazioni differenziali. Si fonda sul concetto di cercare fra tutte le possibili tipologie di soluzione particolare una che assomigli al termine noto (non omogeneo). Nel tuo caso, tale termine noto è un polinomio (monico) di terzo grado. Allora si cerca una soluzione che somigli a questo termine noto e, quindi, si cerca un polinomio che complessivamente abbia grado \(3\). Dunque si pone \(y=P(\alpha)\), con \(P\) polinomio di secondo grado in quanto nella tua equazione differenziale compare \(\alpha y=\alpha P(\alpha)=Q(\alpha)\) con \(Q\) polinomio di terzo grado. Come mai si cerca una soluzione di tal forma? Perché se \(y\) è un polinomio, lo sono pure tutte le sue derivate e lo è pure una qualunque loro combinazione lineare. Complessivamente ti trovi una combinazione lineare di polinomi che dev'essere uguale al tuo polinomio/termine noto. Ora: \(\alpha\) è un parametro; allora qualunque sua derivata rispetto a \(x\) è nulla. Perciò, se \(y=P(\alpha)\), le derivate prima e seconda di \(y\) scompaiono. Rimani con \(\alpha y=\alpha^3\implies y=\alpha^2\). (Tutto questo se \(\alpha\neq0\)).

"AndreaMister":Scrivo la soluzione generale della eq. differenziale
$ y(x)= Ae^(-αx)+Be^(-x) $

Non è esattamente corretto, nel senso che non è vero sempre: giusto?