Problema con EDP del primo ordine con coefficienti costanti
Salve ragazzi,
scusate la domanda per molti di voi sicuramente banale, ma quale è la soluzione di una generica EDP del tipo:
[tex]a\, u_x + b \, u_y = 0[/tex] con [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] costanti?
Grazie anticipatamente.
ps:
Ho pensato di risolverla come mi hanno insegnato per le quasi lineari, ossa risolvendo il sistema caratteristico del tipo [tex]\frac{dx}{dt}=a[/tex] e [tex]\frac{dy}{dt}=b[/tex], [tex]\frac{du}{dt}=0[/tex]
scusate la domanda per molti di voi sicuramente banale, ma quale è la soluzione di una generica EDP del tipo:
[tex]a\, u_x + b \, u_y = 0[/tex] con [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] costanti?
Grazie anticipatamente.
ps:
Ho pensato di risolverla come mi hanno insegnato per le quasi lineari, ossa risolvendo il sistema caratteristico del tipo [tex]\frac{dx}{dt}=a[/tex] e [tex]\frac{dy}{dt}=b[/tex], [tex]\frac{du}{dt}=0[/tex]
Risposte
Perfetto.. ho trovato da solo che tale equazione prende il nome di "equazione di avvezione" ed è la più semplice equazione differenziale alle derivate parziali! Era come avevo pensato, la risoluzione è analoga a quella delle equazioni quasi lineari (che dal nome suppongo essere una generalizzazione del mio problema!)
La soluzione dovrebbe essere del tipo $u(x,y)=u_0(x-ay)$.. della serie fatti una domanda e datti una risposta! (ditemi se è giusto però!)
La soluzione dovrebbe essere del tipo $u(x,y)=u_0(x-ay)$.. della serie fatti una domanda e datti una risposta! (ditemi se è giusto però!)
Occhio alle costanti, si vede ad occhio che quella proposta non è la soluzione giusta (basta derivare).
Probabilmente ti sei perso qualche pezzo nell'ultimo passaggio oppure, ricopiando la soluzione da qualche parte, hai copiato quella dell'equazione [tex]$au_x+u_y=0$[/tex] (che è equivalente alla tua solo se [tex]$b\neq 0$[/tex]; ma in tal caso al posto di [tex]$a$[/tex] avresti dovuto scrivere [tex]$\frac{a}{b}$[/tex]).
Direi più che altro [tex]$u(x,y)=u_0(bx-ay)$[/tex], ove [tex]$u_0$[/tex] è una funzione nota in qualche modo collegata al dato iniziale (assegnato ovviamente su una curva non caratteristica).
Ad ogni modo, il metodo delle caratteristiche "semplice" funziona sia per le equazioni lineari (come la presente) sia per le equazioni quasi-lineari; per quelle nonlineari il metodo funziona ugualmente in linea teorica, ma è più complicato giacché contiene alcune equazioni in più... Se non ricordo male, se n'era parlato tempo fa; se trovo la discussione te la linko.
*** Trovata!
Del metodo delle caratteristiche ne parlai qui (azz, è passato solo poco più di un mese... Mi sembrava una cosa molto più vecchia!).
Probabilmente ti sei perso qualche pezzo nell'ultimo passaggio oppure, ricopiando la soluzione da qualche parte, hai copiato quella dell'equazione [tex]$au_x+u_y=0$[/tex] (che è equivalente alla tua solo se [tex]$b\neq 0$[/tex]; ma in tal caso al posto di [tex]$a$[/tex] avresti dovuto scrivere [tex]$\frac{a}{b}$[/tex]).
Direi più che altro [tex]$u(x,y)=u_0(bx-ay)$[/tex], ove [tex]$u_0$[/tex] è una funzione nota in qualche modo collegata al dato iniziale (assegnato ovviamente su una curva non caratteristica).
Ad ogni modo, il metodo delle caratteristiche "semplice" funziona sia per le equazioni lineari (come la presente) sia per le equazioni quasi-lineari; per quelle nonlineari il metodo funziona ugualmente in linea teorica, ma è più complicato giacché contiene alcune equazioni in più... Se non ricordo male, se n'era parlato tempo fa; se trovo la discussione te la linko.
*** Trovata!
Del metodo delle caratteristiche ne parlai qui (azz, è passato solo poco più di un mese... Mi sembrava una cosa molto più vecchia!).
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