Problema con due limiti

[Lokad]

Allora ho un problema con due limiti, anche se in realtà sono tre ma vabbè, comunque il primo è questo:
Studiare al variare di a>0 il seguente limite:

$ lim_{x \to \0^+} (e^(x^a) -1 +xlogx)/ (sin(x^(2a))+1-cos(x^2))$

in pratica non ci sono problemi sviluppando i limiti notevoli, il problema invece lo da $xlogx$ poichè non si può supporre soltanto che tenda a 0, ma bisogna considerare vari casi che influiscono sul parametro a e quindi sul valore del limite, almeno così ha detto il professore. Ora però non ho capito mica che problemi dia, ho sempre dato per scontato ovviamente erroneamente che quello tendesse semplicemente a 0 senza farmi troppi problemi.

L'altro limite è invece la ricerca dell'asintoto obliquo di una funzione, precisamente:

$f(x)=log(e^x -3)-arctg(e^x-4)+log(3)$

Ricercando prima eventuali asintoti orrizontali si ha una quantità infinita, quindi non ne esistono e procedo per gli asintoti obliqui dividendo la funzione per x. Applicando semplicemente de l'Hopital si ha che m=1 (considerando la retta y=mx+q)
Il problema è la ricerca di q, poichè sottraendo x si ha una forma indetermina $+\infty -\infty$. E questo mi complica un pò le cose, mi pare di aver letto che anche con quella forma indeterminata si possa applicare de l'Hopital ma non ho capito come, magari c'è un metodo meno laborioso.
CHiedo umilmente aiuto

[Mathcrazy]

Senza entrare di capofitto nell'esercizio, mi sento di suggerirti che:

[tex]$\lim_{x \to 0^+} x logx =0$[/tex] con ordine [tex]<1[/tex] ma [tex]>1-\epsilon[/tex] con [tex]\epsilon[/tex] piccolo a piacere.

forse ti può servire, nello svolgimento.

Più tardi magari vedo di approfondire meglio,ora vado un po di fretta !

[Lokad]

Mhh
Quindi sviluppando i limiti notevoli ottengo:
$ lim_{x \to \0^+}(x^a +xlogx)/(x^(2a)+x^2)$

Dimmi se sbaglio: si può approssimare xlogx a $x^(1-\epsilon)$? ovviamente con epsilon molto piccolo.

[dissonance]

"Lokad":Dimmi se sbaglio: si può approssimare xlogx a $x^(1-\epsilon)$? ovviamente con epsilon molto piccolo.

Sbagli, sbagli. Comunque tu prenda piccolo $epsilon$, $x^{1-epsilon}$ sarà sempre un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $xlog(x)$. Questo è il senso del post di Mathcrazy.

[Lokad]

"dissonance":[quote="Lokad"]Dimmi se sbaglio: si può approssimare xlogx a $x^(1-\epsilon)$? ovviamente con epsilon molto piccolo.

Sbagli, sbagli. Comunque tu prenda piccolo $epsilon$, $x^{1-epsilon}$ sarà sempre un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $xlog(x)$. Questo è il senso del post di Mathcrazy.[/quote]
Hai ragione non avevo colto la sottigliezza. La cosa che ho capito e che ha scritto mathcrazy è che l'ordine dell'infinitesimo di xlogx è compreso fra $1-\epsilon$ e 1. Ma non sto proprio riuscendo a venirne a capo come considerare quindi xlogx anche perchè prendendo $\epsilon$ infinitamente piccolo comunque l'ordine di xlogx è maggiore. Boh

[dissonance]

Continui a sbagliare. In effetti la locuzione "ordine di infinitesimo" può essere fuorviante, perché induce a credere che ad ogni infinitesimo si possa associare un numero reale in modo da metterli tutti in ordine. Ma non è così e questo è un ottimo esempio: $xlogx$ è infinitesimo di ordine inferiore ad $x$ (perché $|\frac{xlogx}{x}|\to +\infty$ per $x \to 0^{+}$) ma di ordine superiore ad $x^{1-epsilon}$ per qualsiasi $epsilon>0$ per quanto piccolo (perché $|\frac{xlogx}{x^{1-epsilon}}|=|x^{epsilon}logx|\to 0$). Quindi non puoi associare all'ordine di infinitesimo di $xlogx$ alcun numero reale, perché non esistono numeri reali più piccoli di $1$ e più grandi di $1-epsilon$ per ogni $epsilon$ (proprietà archimedea dei numeri reali).

[Lokad]

Grazie per la spiegazione esauriente
A livello intuitivo ci ero arrivato all'impossibilità di trovare un numero reale per stabilire l'ordine dell'infinitesimo. In effetti non mi stavo scervellando sul significato vero e proprio ma come questo si ripercuota poi sull'esercizio.

[Lokad]

Scusate se uppo.
Tralasciando il primo limite ho risolto così, chiedo a voi una conferma, il limite era:
$lim_{x \to \+infty} log(e^x-3)-arctg(e^x-4)+log3-x $
è una forma indeterminata $\+infty \-infty$
per cercare di risolvere l'indeterminatzione ho usato la formula:
$ln(lim_{x \to \+infty} (e^(f(x))/(e^(g(x)))))
verificata che è vera, sostituisco:
$log(lim_{x \to \+infty} (e^(log(e^x-3) - arctg(e^x-4)+log3))/(e^x))=$
risolvo (o almeno cerco ) :

$=log(lim_{x \to \+infty} ((e^x-3) * e^(-(arctg(e^x-4)))*3)/e^x))=$
dato che $lim_{x \to \+infty} arctg(e^x-4) = \pi/2 $

$=log(lim_{x \to \+infty} ((e^x-3) *3)/(e^x(e^(\pi/2))))=$
$=log(lim_{x \to \+infty} (3(e^x)-9)/(e^x(e^(\pi/2))))=$

raccolgo 3e^x al numeratore:
$=log(lim_{x \to \+infty} (3(e^x)(1-9/(3(e^x)))/(e^x)(e^(-\pi/2))))=$
$=log(3/e^(\pi/2))$