Problema con disequazione
Buonasera,
nella risoluzione di un Problema di Cauchy avente come soluzione $y=-2e^(-x-1)+1-x$, con $y<=0$, mi sono imbattuta nella discussione della disequazione seguente:
$-2e^(-x-1)+1-x<=0$
Sulle dispense del professore si indicano come soluzione le $x<=-1$, tuttavia, risolvendola graficamente e guardando il dominio di esistenza della soluzione, trovo che essa è definita per $x>1$.
Chiedo qualche dritta per capire l'errore ed eventualmente poter ricavare la soluzione analiticamente e non graficamente.
Grazie
nella risoluzione di un Problema di Cauchy avente come soluzione $y=-2e^(-x-1)+1-x$, con $y<=0$, mi sono imbattuta nella discussione della disequazione seguente:
$-2e^(-x-1)+1-x<=0$
Sulle dispense del professore si indicano come soluzione le $x<=-1$, tuttavia, risolvendola graficamente e guardando il dominio di esistenza della soluzione, trovo che essa è definita per $x>1$.
Chiedo qualche dritta per capire l'errore ed eventualmente poter ricavare la soluzione analiticamente e non graficamente.
Grazie
Risposte
\(\displaystyle
-2 e^{-x-1} + 1 - x \leq 0
\)
-2 e^{-x-1} + 1 - x \leq 0
\)
Ponendo $t= 1-x$, e manipolando un po' l'espressione dovresti arrivare a:
\(\displaystyle
e^t \geq \frac{e^2}{2} t
\)
e^t \geq \frac{e^2}{2} t
\)
Per \(t \in (-\infty; 0] \) la disequazione è banalmente soddisfatta (primo membro strettamente positivo, e secondo membro negativo o nullo). Rimane da studiare quello che succede per \( t \in (0; +\infty) \). Portiamo tutto a primo membro:
\(\displaystyle
e^t - \frac{e^2}{2} t \geq 0
\)
e^t - \frac{e^2}{2} t \geq 0
\)
La quantità a primo membro, chiamiamola $f(t)$, è strettamente decrescente in \( (-\infty; 2-\ln2) \), e strettamente crescente in \((2-\ln2; +\infty)\). (Si trova facilmente studiandone la derivata).
Dato che \( f(0) =1 > 0 \), \(f(2-\ln2) < 0\), \(f(3)>0 \), per il teorema di esistenza degli zeri $f$ avrà esattamente uno zero in \( (0, 2-\ln2) \) e uno zero in \( ( 2-\ln2,3) \). Quello nel secondo intervallo (provare per credere
) si ha in \(t = 2 \), quello nel primo intervallo si può determinare ricorrendo all'analisi numerica, e noi lo chiameremo semplicemente \( t_0 \).Per il teorema di permanenza del segno:
\(\displaystyle
\begin{align}
f(t) \ge 0 & \mbox{ in } [0, t_0) \cup (2, +\infty) \\
f(t) \le 0 & \mbox{ in } (t_0; 2) \\
f(t) = 0 & t=t_0 \vee t=2 \\
\end{align}
\)
\begin{align}
f(t) \ge 0 & \mbox{ in } [0, t_0) \cup (2, +\infty) \\
f(t) \le 0 & \mbox{ in } (t_0; 2) \\
f(t) = 0 & t=t_0 \vee t=2 \\
\end{align}
\)
Le soluzioni della disequazione sono quindi, complessivamente:
\(\displaystyle
t \leq t_0 \vee t\geq 2 \\
x \leq -1 \vee x \geq 1-t_0
\)
t \leq t_0 \vee t\geq 2 \\
x \leq -1 \vee x \geq 1-t_0
\)
Grazie mille per la risposta! E' stata illuminante 
Approfitto del post aperto per chiedere una cosa che mi è stata detta a ricevimento dal professore...sulla quale io però sono scettica! il prof sostiene che la radice cubica di tre non sia equivalente all'espressione $z^(1/3)$ dove $z in RR$... D'altra parte ogni volta che incontriamo espressioni del tipo radice cubica di z, le utilizziamo come equivalenti di $z^(1/3)$! Come si spiega?
Approfitto del post aperto per chiedere una cosa che mi è stata detta a ricevimento dal professore...sulla quale io però sono scettica! il prof sostiene che la radice cubica di tre non sia equivalente all'espressione $z^(1/3)$ dove $z in RR$... D'altra parte ogni volta che incontriamo espressioni del tipo radice cubica di z, le utilizziamo come equivalenti di $z^(1/3)$! Come si spiega?
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