Problema con dimostrazione del massimo
Ciao ragazzi, ho trovato un problema a svolgere questo esercizio, vediamo se mi potete aiutare 
:
Sia $ (Q,<=) $ linsieme dei numeri razionali oridnato dalla coonsueta relazione $ <= $. Sia $ A = { x in Q 0 <= x < 1} $
poichè 0 in A e $ 0 <= x $ $ AA A $ il minimo di A esiste e risulta min A = 0 .
Proviamo che A non ha massimo. Supponiamo per assurdo che il massimo di A esista; chiamiamolo lambda . Allora lambda in A e, quindi,$ 0 <= lambda < 1 $. Poniamo ora:
$ y = (lambda + 1)/2 $ (ok, già questo non l'ho capito, perchè $ (lambda + 1)/2 $ , è lecito?)
Si riconosce subito che y in Q e che $ 0 < y < 1 $ ; pertanto y in A. Poichè $ lambda = max A $ deve essere allora $ y <= lambda $.
Ciò è assurdo poichè $ y <= 1 $ se e solo se $ (lambda +1)/2 <= lambda $ se e solo se $ lambda + 1 <= 2lambda $ se e solo se $ 1 <= lambda $.
Spiegatemi sta cosa del "$ (lambda +1)/2 $" comparso dal nulla O_O
: Sia $ (Q,<=) $ linsieme dei numeri razionali oridnato dalla coonsueta relazione $ <= $. Sia $ A = { x in Q 0 <= x < 1} $
poichè 0 in A e $ 0 <= x $ $ AA A $ il minimo di A esiste e risulta min A = 0 .
Proviamo che A non ha massimo. Supponiamo per assurdo che il massimo di A esista; chiamiamolo lambda . Allora lambda in A e, quindi,$ 0 <= lambda < 1 $. Poniamo ora:
$ y = (lambda + 1)/2 $ (ok, già questo non l'ho capito, perchè $ (lambda + 1)/2 $ , è lecito?)
Si riconosce subito che y in Q e che $ 0 < y < 1 $ ; pertanto y in A. Poichè $ lambda = max A $ deve essere allora $ y <= lambda $.
Ciò è assurdo poichè $ y <= 1 $ se e solo se $ (lambda +1)/2 <= lambda $ se e solo se $ lambda + 1 <= 2lambda $ se e solo se $ 1 <= lambda $.
Spiegatemi sta cosa del "$ (lambda +1)/2 $" comparso dal nulla O_O
Risposte
\(\lambda+1<1+1<2\) quindi \((\lambda+1)/2<2/2<1\) inoltre è razionale (è un massimo quindi appartiene all'insieme). Ipotesi assurda: \(\lambda\) esiste. Se esiste \(\lambda\) allora esiste anche \((\lambda+1)/2\).
"4mrkv":
\( \lambda+1<1+1<2 \) quindi \( (\lambda+1)/2<2/2<1 \) inoltre è razionale (è un massimo quindi appartiene all'insieme). Ipotesi assurda: \( \lambda \) esiste. Se esiste \( \lambda \) allora esiste anche \( (\lambda+1)/2 \).
Potresti essere un po' più chiaro? scusa la mia ignoranza
Non sono sicuro di avere capito cosa non hai capito.
"4mrkv":
Non sono sicuro di avere capito cosa non hai capito.
bhè, i passaggi del tuo ragionamento
potresti spiegarmi come hai trattato il tutto?
Se \(\lambda\) il massimo di \(A\) esiste allora appartiene ad \(A\) per definizione: \(\mbox{max}A=\) \(x \in A\) t.c. \(x\geq y\) per ogni \(y \in A\). Appartenendo ad \(A\) è razionale in quanto \(A\) è formato da numeri razionali. Abbiamo supposto che \(A\) esiste quindi esiste anche \((\lambda+1)/2\) che è razionale in quanto sostituendo \(\lambda=\lambda_{1}/\lambda_{2}\) nell'espressione trovo un numero razionale.
La razionalità è il primo requisito perché appartenga all'insieme, il secondo è che valga \(0\leq (\lambda+1)/2<1\). Dando per scontato che sia maggiore o uguale a zero, bisogna mostrare che è minore di \(1\). Siccome \(\lambda <1\) allora \(\lambda+1<1 +1=2\). Dividendo per \(2\) da ambo le parti ottengo \((\lambda+1)/2<2/2=1\).
La razionalità è il primo requisito perché appartenga all'insieme, il secondo è che valga \(0\leq (\lambda+1)/2<1\). Dando per scontato che sia maggiore o uguale a zero, bisogna mostrare che è minore di \(1\). Siccome \(\lambda <1\) allora \(\lambda+1<1 +1=2\). Dividendo per \(2\) da ambo le parti ottengo \((\lambda+1)/2<2/2=1\).
"4mrkv":
Se \(\lambda\) il massimo di \(A\) esiste allora appartiene ad \(A\) per definizione: \(\mbox{max}A=\) \(x \in A\) t.c. \(x\geq y\) per ogni \(y \in A\). Appartenendo ad \(A\) è razionale in quanto \(A\) è formato da numeri razionali. Abbiamo supposto che \(A\) esiste quindi esiste anche \((\lambda+1)/2\) che è razionale in quanto sostituendo \(\lambda=\lambda_{1}/\lambda_{2}\) nell'espressione trovo un numero razionale.
La razionalità è il primo requisito perché appartenga all'insieme, il secondo è che valga \(0\leq (\lambda+1)/2<1\). Dando per scontato che sia maggiore o uguale a zero, bisogna mostrare che è minore di \(1\). Siccome \(\lambda <1\) allora \(\lambda+1<1 +1=2\). Dividendo per \(2\) da ambo le parti ottengo \((\lambda+1)/2<2/2=1\).
si, ho capito il ragionamento dopo il fatidico $(lambda+1)/2$, ma non ho capito perchè lecito tirar fuori quel $(lambda+1)/2$ anche se è un'ipotesi assurda, non mi c'entra proprio in testa... se tu prendi un $lambda$ gli aggiungi 1 e lo dividi per 2 non si perde $lambda$ per "strada"?
ecco, spiegami questo.Comunque ti ringrazio già in anticipo, gentilissimo
Molto semplicemente: devi far vedere che esiste almeno un razionale strettamente compreso fra questo \(\lambda\) (che è strettamente minore di \(1\)) e \(1\). Il punto medio fra \(\lambda\) e \(1\) è un razionale con questa proprietà.
Avresti potuto equivalentemente prendere \(s\cdot\lambda + (1-s)\cdot 1\) con \(s\in \mathbb{Q}\cap (0,1)\); la scelta fatta sopra corrisponde a \(s = 1/2\).
Avresti potuto equivalentemente prendere \(s\cdot\lambda + (1-s)\cdot 1\) con \(s\in \mathbb{Q}\cap (0,1)\); la scelta fatta sopra corrisponde a \(s = 1/2\).
"mrcbrt":
si, ho capito il ragionamento dopo il fatidico $(lambda+1)/2$, ma non ho capito perchè lecito tirar fuori quel $(lambda+1)/2$ anche se è un'ipotesi assurda, non mi c'entra proprio in testa... se tu prendi un $lambda$ gli aggiungi 1 e lo dividi per 2 non si perde $lambda$ per "strada"?
Comunque ti ringrazio già in anticipo, gentilissimo
Beh, il ragionamento per assurdo funziona così, reductio ad absurdum (RAA):
\[
\begin{split}
\begin{array}{c}
[\neg \varphi] \\
\vdots\\
\frac{\perp }{\varphi}
\end{array}
\end{split}
\]
A parole: devi dimostrare la proposizione \(\varphi\) = (\(\lambda\not \in A\)). Allora assumi per assurdo che valga \(\neg \varphi\) vale a dire \(\lambda \in A\). A questo punto tutto quello che segue \(\ldots\) deve essere coerente con l'ultima supposizione, fino ad arrivare all'assurdità \(\perp\) che hai esplicato nel primo post. A quel punto cancelli l'ipotesi per assurdo (\([\neg \varphi]\)) e prendi quella buona, \(\varphi\).
Quel \(\lambda\) non si perde per strada perché trasmette la sua assurdità a \((\lambda+1)/2\). Questa viene trasmessa fino a diventare palese con \(\perp\).
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