Problema con derivate parziali di un logaritmo in base (y-x)
Salve a tutti,
sono nuovo di questo forum!
Ho un grosso problema relativo ad un'esercizio di un'esame di analisi matetamica 2.
Chiedeva di stabilire se la funzione $ log (sin (sqrt(x^2+y^2)) ) $ in cui il LOG è IN BASE (Y-X) è differenziabile.
Per fare ciò in teoria dovrei calcolare le derivate parziali rispetto ad X e rispetto ad Y della funzione, e poi vedere se il dominio della funzione è incluso in quello delle derivate.
Il problema è il calcolo delle derivate, perchè considerando che il logaritmo è in base (y-x) dovrei trasformarlo in logaritmo naturale ma il calcolo diventa molto complicato. Qualcuno ha dei suggerimenti su come poter fare il calcolo magari in modo semplificato?
Grazie a tutti per la disponibilità
Saluti
Lorenzo
sono nuovo di questo forum!
Ho un grosso problema relativo ad un'esercizio di un'esame di analisi matetamica 2.
Chiedeva di stabilire se la funzione $ log (sin (sqrt(x^2+y^2)) ) $ in cui il LOG è IN BASE (Y-X) è differenziabile.
Per fare ciò in teoria dovrei calcolare le derivate parziali rispetto ad X e rispetto ad Y della funzione, e poi vedere se il dominio della funzione è incluso in quello delle derivate.
Il problema è il calcolo delle derivate, perchè considerando che il logaritmo è in base (y-x) dovrei trasformarlo in logaritmo naturale ma il calcolo diventa molto complicato. Qualcuno ha dei suggerimenti su come poter fare il calcolo magari in modo semplificato?
Grazie a tutti per la disponibilità
Saluti
Lorenzo
Risposte
Alle superiori lo insegnano ancora il cambiamento di base del logaritmo, cioè [tex]$\log_b a= \tfrac{\ln a}{\ln b}$[/tex]?
quello lo sapevo anche io, il problema è quando fai il cambiamento di base, la derivata si complica e molto, volevo sapere se c'era un metodo per semplificarla. Tutto qui
Ciao e benvenuto 
Effettivamente, la funzione non è delle più belle: $f(x,y) = ln(sin(sqrt(x^2+y^2)))/ln(y-x)$.
Senti, posso chiederti che cosa chiede esattamente il testo dell'esercizio? Chiede di stabilire se $f$ è differenziabile in qualche punto particolare o chiede di determinare l'insieme (il più grande sottoinsieme del dominio) in cui la $f$ è differenziabile?
Effettivamente, la funzione non è delle più belle: $f(x,y) = ln(sin(sqrt(x^2+y^2)))/ln(y-x)$.
Senti, posso chiederti che cosa chiede esattamente il testo dell'esercizio? Chiede di stabilire se $f$ è differenziabile in qualche punto particolare o chiede di determinare l'insieme (il più grande sottoinsieme del dominio) in cui la $f$ è differenziabile?
ciao,
chiede di determinare l'insieme (il più grande sottoinsieme del dominio) in cui la f è differenziabile.
grazie
chiede di determinare l'insieme (il più grande sottoinsieme del dominio) in cui la f è differenziabile.
grazie
ciao,
chiede di determinare l'insieme (il più grande sottoinsieme del dominio) in cui la f è differenziabile.
grazie
chiede di determinare l'insieme (il più grande sottoinsieme del dominio) in cui la f è differenziabile.
grazie
La funzione assegnata [tex]$f(x,y)$[/tex] non è altro che il rapporto tra le due funzioni logaritmiche [tex]$N(x,y):=\ln \sin \sqrt{x^2+y^2}$[/tex] e [tex]$D(x,y):=\ln (y-x)$[/tex], sicché essa è definita nell'aperto [tex]$A$[/tex] individuato dalle limitazioni:
[tex]$\begin{cases} \sin \sqrt{x^2+y^2} >0 \\ y-x>0 \\ y-x\neq 1 \end{cases}$[/tex]
(che rappresentano, rispettivamente, l'insieme di definizione di [tex]$N(x,y)$[/tex], l'insieme di definizione di [tex]$D(x,y)$[/tex] e l'esclusione dei punti in cui [tex]$D(x,y)=0$[/tex]), ed ivi continua; le sue derivate parziali si esprimono:
[tex]$f_x(x,y)=N_x(x,y)\ \frac{1}{D(x,y)} - N(x,y)\ D_x(x,y)\ \frac{1}{D^2(x,y)}$[/tex]
[tex]$f_y(x,y)=N_y(x,y)\ \frac{1}{D(x,y)} - N(x,y)\ D_y(x,y)\ \frac{1}{D^2(x,y)}$[/tex]
edvidentemente essa è di classe [tex]$C^1$[/tex] nel sottoinsieme di [tex]$A$[/tex] in cui [tex]$N(x,y)$[/tex], [tex]$D(x,y)$[/tex] e le loro derivate prime risultano continue.
Ma [tex]$N(x,y)$[/tex] e [tex]$D(x,y)$[/tex] sono logaritmi, ergo sono continui e [tex]$D(x,y)\neq 0$[/tex] in [tex]$A$[/tex]; d'altra parte, le derivate prime:
[tex]$N_x(x,y) = \frac{1}{\sin \sqrt{x^2+y^2}}\ \cos \sqrt{x^2 +y^2}\ x$[/tex], [tex]$N_y(x,y) = \frac{1}{\sin \sqrt{x^2+y^2}}\ \cos \sqrt{x^2 +y^2}\ y$[/tex]
[tex]$D_x(x,y)=- \frac{1}{y-x}$[/tex], [tex]$D_y(x,y)=\frac{1}{y-x}$[/tex]
sono anch'esse continue in [tex]$A$[/tex]; pertanto la [tex]$f(x,y)$[/tex] è di classe [tex]$C^1(A)$[/tex].
[tex]$\begin{cases} \sin \sqrt{x^2+y^2} >0 \\ y-x>0 \\ y-x\neq 1 \end{cases}$[/tex]
(che rappresentano, rispettivamente, l'insieme di definizione di [tex]$N(x,y)$[/tex], l'insieme di definizione di [tex]$D(x,y)$[/tex] e l'esclusione dei punti in cui [tex]$D(x,y)=0$[/tex]), ed ivi continua; le sue derivate parziali si esprimono:
[tex]$f_x(x,y)=N_x(x,y)\ \frac{1}{D(x,y)} - N(x,y)\ D_x(x,y)\ \frac{1}{D^2(x,y)}$[/tex]
[tex]$f_y(x,y)=N_y(x,y)\ \frac{1}{D(x,y)} - N(x,y)\ D_y(x,y)\ \frac{1}{D^2(x,y)}$[/tex]
edvidentemente essa è di classe [tex]$C^1$[/tex] nel sottoinsieme di [tex]$A$[/tex] in cui [tex]$N(x,y)$[/tex], [tex]$D(x,y)$[/tex] e le loro derivate prime risultano continue.
Ma [tex]$N(x,y)$[/tex] e [tex]$D(x,y)$[/tex] sono logaritmi, ergo sono continui e [tex]$D(x,y)\neq 0$[/tex] in [tex]$A$[/tex]; d'altra parte, le derivate prime:
[tex]$N_x(x,y) = \frac{1}{\sin \sqrt{x^2+y^2}}\ \cos \sqrt{x^2 +y^2}\ x$[/tex], [tex]$N_y(x,y) = \frac{1}{\sin \sqrt{x^2+y^2}}\ \cos \sqrt{x^2 +y^2}\ y$[/tex]
[tex]$D_x(x,y)=- \frac{1}{y-x}$[/tex], [tex]$D_y(x,y)=\frac{1}{y-x}$[/tex]
sono anch'esse continue in [tex]$A$[/tex]; pertanto la [tex]$f(x,y)$[/tex] è di classe [tex]$C^1(A)$[/tex].
Mi scuso, mi ero incasinato nei conti e avevo lasciato perdere, preso da altre questioni.
Ti ringrazio, gugo, per i chiarimenti: il tuo post è molto utile anche per me.
Ti ringrazio, gugo, per i chiarimenti: il tuo post è molto utile anche per me.
grazie, mi sei stato di grande aiuto! 
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