Problema con derivate parziali.

[nic1988]

Buon pomeriggio a tutti. Svolgendo il seguente esercizio

Studiare i punti di massimo e minimo relativi e assoluti della funzione

$f(x,y)=arcsen^2(xy)$

nel suo insieme di definizione.

Per trovare i massimi e minimi relativi devo calcolarmi le derivate parziali prime e le derivate parziali seconde (nelle quali sono incluse anche quelle miste.Per intenderci $f_(xy) , f_(yx)$)
Se ricordo bene il teorema di Schwartz afferma che $f_(xy) , f_(yx)$ devono essere uguali. Il mio problema è proprio quello perché me le trovo differenti.

Scrivo qui i miei risultati delle derivate

$f(x,y)=arcsen^2(xy)$ la scrivo come $arcsen(xy) * arcsen(xy)$

$f_x=1/sqrt(1-x^2) * arcsen(xy) + arcsen(xy) * 1/sqrt(1-x^2) = (2arcsen(xy))/sqrt(1-x^2)$

$f_y=1/sqrt(1-y^2) * arcsen(xy) + arcsen(xy) * 1/sqrt(1-y^2) = (2arcsen(xy))/sqrt(1-y^2)$

$f_(x,x)=(2/sqrt(1-x^2) * sqrt(1-x^2) - 2arcsen(xy) * 1/(2sqrt(1-x^2)))/(1-x^2) = (2-(arcsen(xy))/sqrt(1-x^2))/(1-x^2)$

$f_(yy)=(2/sqrt(1-y^2) * sqrt(1-y^2) - 2arcsen(xy) * 1/(2sqrt(1-y^2)))/(1-y^2) = (2-(arcsen(xy))/sqrt(1-y^2))/(1-y^2)$

$f_(xy)=(2/sqrt(1-y^2) *sqrt(1-x^2) - 2arcsen(xy) * 0)/(1-x^2) = ((2sqrt(1-x^2))/sqrt(1-y^2))/(1-x^2)$

$f_(yx)=(2/sqrt(1-x^2) *sqrt(1-y^2) - 2arcsen(xy) * 0)/(1-y^2) = ((2sqrt(1-y^2))/sqrt(1-x^2))/(1-y^2)$

Dove ho sbagliato?

[ciampax]

Nella radice ci va $\sqrt{1-x^2 y^2}$. E inoltre devi derivare l'argomento. Ad esempio
$$f_x=\frac{2y\arcsin(xy)}{\sqrt{1-x^2 y^2}}$$

[nic1988]

Ok il concetto è chiaro ma mi resta lo stesso problema nelle derivate parziali miste!

$f_x=(2yarcsen(xy))/sqrt(1-x^2y^2)$
$f_(xy)=(2*x*1/sqrt(1-x^2y^2)(sqrt(1-x^2y^2)) - [1/2 sqrt(1-x^2y^2) * (-2x^2y)] 2y arcsen (xy))/(1-x^2y^2)$
A conti fatti diventa
$f_(xy)=(2x+2x^2y^2sqrt(1-x^2y^2)arcsen(xy))/(1-x^2y^2)$
$f_y=(2xarcsen(xy))/sqrt(1-x^2y^2)$
$f_(yx)= (2*y*1/sqrt(1-x^2y^2)(sqrt(1-x^2y^2))-[1/2sqrt(1-x^2y^2)* (-2xy^2)] * 2xarcsen(xy))/(1-x^2y^2)$
A conti fatti diventa
$f_(yx)=(2y+2x^2y^2sqrt(1-x^2y^2) arcsen(xy))/(1-x^2y^2)$

Dai miei conti le derivate parziali miste sono diverse. Dove ho sbagliato?

[ciampax]

Ma lo vedi che continui a sbagliare le derivate? Ma lo sai come si deriva una funzione composta?
$$f_{xy}=\left(\frac{2y\arcsin(xy)}{\sqrt{1-x^2 y^2}}\right)_y=\\ \frac{\left[2\arcsin(xy)+2y\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^2 y^2}}\right]\sqrt{1-x^2 y^2}-2y\arcsin(xy)\cdot\frac{-2x^2 y}{2\sqrt{1-x^2 y^2}}}{1-x^2 y^2}=\\ \frac{2(1-x^2 y^2)\arcsin(xy)+2xy\sqrt{1-x^2 y^2}+2x^2 y^2\arcsin(xy)}{(1-x^2 y^2)^{3/2}}=\frac{2\arcsin(xy)+2xy\sqrt{1-x^2 y^2}}{(1-x^2 y^2)^{3/2}}$$