Problema con derivate direzionali

[fabyc1]

Ciao a tutti, sto provando a risolvere questo problema ma proprio non ci riesco, so solo che devo usare le derivate direzionali. Spero che qualcuno di voi sia così gentile da aiutarmi, grazie mille a chi risponderà

" Su di un piatto metallico, il cui centro coincide con l'origine degli assi, la temperatura nel punto $ (x,y) $ è governata dalla legge $ T(x,y)=x^2+2*y^2-x $ . Una formica si muove a partire dal centro del piatto, spostandosi ad una distanza massima di una unità dal centro stesso. Quali sono la temperatura massima e minima che la formica eventualmente percepirà? "

[bosmer-votailprof]

Beh è un problema di massimi e minimi assoluti, per nostra fortuna molto facile, perché la funzione è differenziabile su tutto $\R$ e l'insieme su cui vanno valutati i massimi e i minimi è la circonferenza unitaria...

Quindi il nostro punto sarà quello di studiare i massimi e i minimi assoluti all'interno della circonferenza e sul bordo della circonferenza.
Poiché il dominio è compatto (cioè nel nostro caso chiuso e limitato essendo un cerchio compreso del bordo) allora devono esistere per forza almeno un massimo e un minimo assoluti.

Cerchiamo prima dentro il cerchio dimenticandoci un attimo del bordo... Per fare ciò (visto che la funzione è differenziabile) calcoliamo il gradiente e scopriamo per quali punti esso si annulla.
Il gradiente della funzione è chiaramente $\nabla_T(x,y)=(2x-1 , 4y)$ il quale è nullo chiaramente solo nel punto di coordinate $(1/2 , 0 )$ il quale è ovviamente un punto interno al cerchio(è importante controllare sempre questo fatto), andiamo a vedere quanto vale la funzione in tale punto ed abbiamo che $T(1/2 , 0 )=-1/2$ ci chiediamo se questo sia un massimo od un minimo, la risposta è immediata, basta notare che ad esempio $T(0,0)=0$ quindi chiaramente $T(1/2 , 0 )=-1/2$ non può essere il massimo assoluto della funzione, potrà al massimo essere il minimo assoluto... ma questo fatto lo confermeremo dopo, poiché vi è solo un punto stazionario interno al dominio e questo non può essere il massimo assoluto, allora tale massimo dovrà per forza trovarsi lungo la circonferenza, andiamo a cercarlo...

Prima di tutto è utile riscrivere in coordinate polari la nostra funzione ovvero studiare la funzione:
$$
\bar T(\rho,\theta)=\rho^2\cos^2\theta+2\rho^2\sin^2\theta-\rho\cos\theta
$$
che dopo 3 passaggi algebrici in croce possiamo riscrivere come
$$
\bar T(\rho,\theta)=2\rho^2-\rho^2\cos^2\theta-\rho\cos\theta
$$
Adesso ci interessano unicamente i valori della funzione appartenenti alla circonferenza di raggio 1 , ciò equivale a valutare
$$
\bar T(1,\theta)=2-\cos^2\theta-\cos\theta=t(\theta)
$$
la quale è una funzione di una variabile come si può vedere, quindi studiamo i punti stazionari di tale funzione $t(\theta)$ come ci è solito per le funzioni di una variabile, ottenendo che tali punti sono
$$
\theta=k\pi
\\
\theta=\frac{2}{3}\pi +2k\pi
\\
\theta=-\frac{2}{3}\pi +2k\pi
$$
Che nel piano si traducono ovviamente nei punti di coordinate polari

$$
(1,0)
\\
(1,\pi)
\\
(1,\frac{2}{3}\pi)
\\
(1,\frac{5}{3}\pi)
$$

Valutiamo semplicemente la funzione $\bar T$ in tali punti ottenendo che

$$
\bar T(1,0)=0
\\
\bar T(1,\pi)=2
\\
\bar T(1,\frac{2}{3}\pi)=\frac{7}{4}
\\
\bar T(1,\frac{5}{3}\pi)=\frac{7}{4}
$$

Quindi $(1,\pi)$ che in coordinate cartesiane corrisponde a $(-1,0)$ è il nostro punto di massimo assoluto non essendoci appunto altri valori in tutto il dominio per cui la funzione risulti maggiore di $2$ , per la stessa ragione il punto interno alla circonferenza che avevamo trovato è il minimo assoluto della funzione. Ci tengo a ricordare che il massimo e il minimo assoluti devono esistere per forza solo a causa del fatto che il dominio è un insieme compatto!(teorema di Weistrass)