Problema con derivata di razionale fratta
salve a tutti, stavo affrontando lo studio di questa funzione :
$ abs((3x^2-2-5x)/ln(1-x) $
Per disegnarne il grafico stavo procendendo nello studio della funzione all'interno del valore assoluto per poi apportare le opportune modifiche una volta terminato. Per quanto riguarda segno ed intersezioni non ho avuto particolari problemi, stessa cosa per gli asintoti... tuttavia nello svolgere la derivata di questo quoziente ho riscontrato dei problemi, non tanto nel calcolo della derivata in se, ma nel porla maggiore di 0, poichè mi ritrovo prodotti tra logaritmi e polinomi, e non so quindi come risolvere la disequazione NUMERATORE >0 ..... consigli?
$ abs((3x^2-2-5x)/ln(1-x) $
Per disegnarne il grafico stavo procendendo nello studio della funzione all'interno del valore assoluto per poi apportare le opportune modifiche una volta terminato. Per quanto riguarda segno ed intersezioni non ho avuto particolari problemi, stessa cosa per gli asintoti... tuttavia nello svolgere la derivata di questo quoziente ho riscontrato dei problemi, non tanto nel calcolo della derivata in se, ma nel porla maggiore di 0, poichè mi ritrovo prodotti tra logaritmi e polinomi, e non so quindi come risolvere la disequazione NUMERATORE >0 ..... consigli?
Risposte
se non ho sbagliato i conti, facendo la derivata della funzione al numeratore della derivata si ha un'espressione piuttosto semplice che si annulla solo in $x=11/12$. naturalmente il risultato va considerato insieme con il dominio e con il segno dell'argomento della funzione, ma dà delle indicazioni importanti.
a me la derivata viene
$ (-3 x^2+(6 x^2-11 x+5) log(1-x)+5 x+2)/((x-1) log^2(1-x)) $
... quindi o non ci troviamo con i calcoli oppure non ho capito perchè si annulla nel punto in cui dici
$ (-3 x^2+(6 x^2-11 x+5) log(1-x)+5 x+2)/((x-1) log^2(1-x)) $
... quindi o non ci troviamo con i calcoli oppure non ho capito perchè si annulla nel punto in cui dici
"leonidus96":
a me la derivata viene
$ (-3 x^2+(6 x^2-11 x+5) log(1-x)+5 x+2)/((x-1) log^2(1-x)) $
... quindi o non ci troviamo con i calcoli oppure non ho capito perchè si annulla nel punto in cui dici
a meno del segno, anche a me viene così.
io parlavo della derivata del numeratore di questa:
visto che a me venivano tutti i segni cambiati (ma d'altronde c'era un modulo, per cui a volte è così, a volte è l'opposta), suppongo che dovrebbe venire (la derivata del tuo numeratore) l'opposto di quello che viene a me...
OK, parliamo più chiaramente:
il denominatore è sempre positivo (nel dominio), per cui la frazione ha lo stesso segno del numeratore.
a questo punto, visto che la disequazione non si risolve per via elementare, isoliamo il numeratore per studiarne l'andamento e quindi per ricavare altre informazioni.
non so se prendere il mio risultato oppure il tuo. tieni conto che a me veniva l'opposto in $(-oo, -1/3)uu(0,1)$ e come te in $[-1/3,0)$-
detta $g(x)=(-3 x^2+(6 x^2-11 x+5) log(1-x)+5 x+2)) $ (ho copiato dalla tua),
abbiamo $g'(x)=(12x-11)log(1-x)$ (qui ho scritto l'opposto del mio risultato.
controlla e prova a continuare.
Ops, mi sono accorta ora che tu al denominatore hai scritto $x-1$ e non $1-x$, dunque non vale quello che ho scritto sul confronto.
la modifico come l'avevo scritta io, perché così il denominatore sarà positivo.
detta $g(x)=(-6 x^2+11 x-5) log(1-x)+(3x^2-5 x-2)$ ,
abbiamo $g'(x)=(-12x+11)log(1-x)$ .
controlla e prova a continuare.
perdonami ma non ho capito come mai hai calcolato g'(x).... mi trovo perfettamente col tuo ragionamento fin quando dici che il denominatore è sempre positivo e quindi il segno è determinato dal numeratore e fin qui mi trovo.... poi hai detto stesso tu che la disequazione non si può risolvere per via elementare... ed è qui che mi perdo... proprio perchè non si può risolvere per via elementare, come si procede? non ho mai risolto disequazioni simili...
quando non si può risolvere per via elementare, si procede per via analitica: si vede quando è crescente o decrescente e negli intervalli in cui è continua e monotòna si applica il teorema dei valori intermedi.
in questo caso, se i calcoli fatti finora sono giusti, distinguiamo i quattro intervalli $(-oo,-1/3];(-1/3,0);(0,11/12),[11/12,1)$, le parentesi quadre possono anche variare...
nel primo intervallo la f è crescente, nel secondo è decrescente, nel terzo è crescente, nel quarto è decrescente (perché nel secondo va presa l'opposta, e la g' è negativa solo nel quarto).
spero di aver chiarito.
casomai riprendiamo il discorso domani (ormai oggi!).
in questo caso, se i calcoli fatti finora sono giusti, distinguiamo i quattro intervalli $(-oo,-1/3];(-1/3,0);(0,11/12),[11/12,1)$, le parentesi quadre possono anche variare...
nel primo intervallo la f è crescente, nel secondo è decrescente, nel terzo è crescente, nel quarto è decrescente (perché nel secondo va presa l'opposta, e la g' è negativa solo nel quarto).
spero di aver chiarito.
casomai riprendiamo il discorso domani (ormai oggi!).
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