Problema con convergenza dominata
L'esercizio in realtà si svolge in uno spazio di probabilità \(\displaystyle (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \), ma ho un problema soltanto nell'applicare il teorema di convergenza dominata, quindi ho pensato di postarlo nella sezione di analisi.
Venendo al dunque, ho la seguente quantità: \(\displaystyle W^{\theta}=c(\theta)^{-\tau} e^{\theta a}\mathbb{1}_{\tau < +\infty} \) definita per $\theta>0$ con $a>0$, $c(\theta)>1$ e tale che $lim_{\theta \to 0} c(\theta)=1$ e $\tau$ tempo d'arresto (lo dico solo per completezza).
Sapendo che $\mathbb{E} [W^{\theta}]=1$, voglio dimostrare che $\mathbb{P}(\tau <+\infty)=1$. In sostanza devo passare al limite sotto segno di integrale per $\theta \to 0$.
Consultando le soluzioni dell'esercizio ho notato che usa la limitazione $W^{\theta} \leq e^{\theta a}$.
La mia domanda è: non è scorretto applicare la convergenza dominata in questo modo? La funzione che domina non deve essere indipendente dal parametro di cui faccio il limite?
Venendo al dunque, ho la seguente quantità: \(\displaystyle W^{\theta}=c(\theta)^{-\tau} e^{\theta a}\mathbb{1}_{\tau < +\infty} \) definita per $\theta>0$ con $a>0$, $c(\theta)>1$ e tale che $lim_{\theta \to 0} c(\theta)=1$ e $\tau$ tempo d'arresto (lo dico solo per completezza).
Sapendo che $\mathbb{E} [W^{\theta}]=1$, voglio dimostrare che $\mathbb{P}(\tau <+\infty)=1$. In sostanza devo passare al limite sotto segno di integrale per $\theta \to 0$.
Consultando le soluzioni dell'esercizio ho notato che usa la limitazione $W^{\theta} \leq e^{\theta a}$.
La mia domanda è: non è scorretto applicare la convergenza dominata in questo modo? La funzione che domina non deve essere indipendente dal parametro di cui faccio il limite?
Risposte
Ah, forse ho capito: considero soltanto un intorno (destro) dello 0, perché è un limite per $\theta \to 0$, quindi ad esempio $\theta \in (0,1]$. Allora $e^{\theta a} \leq e^a$ e la limitazione è indipendente dal parametro.
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