Problema con circuitazione con forma differenziale
Allora, avrei un problema con questa forma differenziale..
$ (2xz -y)/(x^2+y^2) dx + (2yz + x)/(x^2+y^2) dy + log(x^2+y^2) dz $ . Ho verificato che e' chiusa,e che la sua primitiva e' $ zlog(x^2+y^2) - arctg(x/y)+c $ Il dominio della primitiva è $ y!= 0 , x^2+y^2 != 0 $ ed è quindi localmente esatta.
L'esercizio mi chiede di studiare la circuitazione lungo la circonferenza (1,cos t,sin t) , con t $ in $ [0,2TT].
Ora quello che mi chiedevo,la circonferenza si trova in una zona dove e' localmente esatta tranne che in due punti, (ovvero le y=0). Posso ancora dire che la circuitazione faccia 0?
$ (2xz -y)/(x^2+y^2) dx + (2yz + x)/(x^2+y^2) dy + log(x^2+y^2) dz $ . Ho verificato che e' chiusa,e che la sua primitiva e' $ zlog(x^2+y^2) - arctg(x/y)+c $ Il dominio della primitiva è $ y!= 0 , x^2+y^2 != 0 $ ed è quindi localmente esatta.
L'esercizio mi chiede di studiare la circuitazione lungo la circonferenza (1,cos t,sin t) , con t $ in $ [0,2TT].
Ora quello che mi chiedevo,la circonferenza si trova in una zona dove e' localmente esatta tranne che in due punti, (ovvero le y=0). Posso ancora dire che la circuitazione faccia 0?
Risposte
Se la forma è chiusa, come nel tuo caso, e il dominio è semplicemente connesso, in questo caso \(\mathbb{R}^3 \setminus (0,0,0)\) lo è, puoi concludere direttamente che è esatta. Senza calcolare il potenziale puoi affermare che \(\oint_\gamma \omega = 0\) per ogni curva chiusa \(\gamma\) nel tuo dominio.
Alternativamente, se la consegna richiede la circuitazione, puoi calcolare direttamente l'integrale di linea e verificare che è nullo.
Che il dominio della primitiva abbia quelle singolarità mi incuriosisce...
"Emar":
Se la forma è chiusa, come nel tuo caso, e il dominio è semplicemente connesso, in questo caso \(\mathbb{R}^3 \setminus (0,0,0)\) lo è, puoi concludere direttamente che è esatta. Senza calcolare il potenziale puoi affermare che \(\oint_\gamma \omega = 0\) per ogni curva chiusa \(\gamma\) nel tuo dominio.
Alternativamente, se la consegna richiede la circuitazione, puoi calcolare direttamente l'integrale di linea e verificare che è nullo.
Che il dominio della primitiva abbia quelle singolarità mi incuriosisce...
Scusa ma...il dominio non e' R^3/x,y=0 , ovvero r^3 privato dell'asse z?
"RyuzakiTA":
Scusa ma...il dominio non e' R^3/x,y=0 , ovvero r^3 privato dell'asse z?
Purtroppo hai ragione
, non è giornata. Il dominio è \( \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ x = 0 ,y = 0 \right\}\) come hai detto tu e non è semplicemente connesso.Se però consideriamo il dominio \(\Omega = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ x > 0\right\}\), quest'ultimo è semplicemente connesso e quindi la forma dovrebbe essere esatta in \(\Omega\). E, dato che \(\gamma \subseteq \Omega\), potremmo concludere che \(\omega\) è esatta in \(\Omega\) e quindi che \( \oint_\gamma \omega = 0 \).
Dato che ho già sparato due stupidaggini oggi al momento non mi sento sicurissimo di quanto scritto, ma mi sembra fili. Inoltre, provando a calcolare la circuitazione "manualmente" risulta \(0\).
EDIT Per quanto riguarda la tua primitiva, il quesito è interessante. Io direi che "la fortuna" è che \(\arctan\) tende ad un limite finito all'infinito e quindi l'integrale "non se ne accorge", però mi piacerebbe sentire il parere di qualcun'altro.
"Emar":
[quote="RyuzakiTA"]
Scusa ma...il dominio non e' R^3/x,y=0 , ovvero r^3 privato dell'asse z?
Purtroppo hai ragione
, non è giornata. Il dominio è \( \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ x = 0 ,y = 0 \right\}\) come hai detto tu e non è semplicemente connesso.Se però consideriamo il dominio \(\Omega = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ x > 0\right\}\), quest'ultimo è semplicemente connesso e quindi la forma dovrebbe essere esatta in \(\Omega\). E, dato che \(\gamma \subseteq \Omega\), potremmo concludere che \(\omega\) è esatta in \(\Omega\) e quindi che \( \oint_\gamma \omega = 0 \).
Dato che ho già sparato due stupidaggini oggi al momento non mi sento sicurissimo di quanto scritto, ma mi sembra fili. Inoltre, provando a calcolare la circuitazione "manualmente" risulta \(0\).
EDIT Per quanto riguarda la tua primitiva, il quesito è interessante. Io direi che "la fortuna" è che \(\arctan\) tende ad un limite finito per \(x \to \pi/2\) da destra o da sinistra e quindi l'integrale "non se ne accorge", però mi piacerebbe sentire il parere di qualcun'altro.[/quote]
Avevo ipotizzato che la circuitazione fosse 0 e lo avevo verificato anche io manualmente, e ricordandomi poi che la professoressa a riguardo degli integrali doppi disse "Un integrale se la funzione in un punto non è definita,non se ne accorge", proprio come dici tu. Inoltre che l'arctg anche con y-->0 non è un problema essendo comunque un numero finito. Ciò che mi chiedevo è se appunto posso dire che la curva poichè si trova in una zona dove la forma è localmente esatta tranne che in due punti, ed essendo che l'integrale da quello che ho capito non se ne accorge...potevo affermare che la circuitazione sia nulla.
Ciò che mi porta a pensarlo è anche che nel quesito precedente , avevo da calcolare la circuitazione su (cost,sent,0), che trovandosi appunto su z=0, dove omega non è esatta, mi dava un risultato diverso da 0, Questa curva nel suo x=1, credo voglia darmi un indizio che sia diciamo "un finto quesito" . Spero che quello che ho scritto sia comprensibile
In generale, se una forma differenziale è localmente esatta non puoi assolutamente concludere che sia globalmente esatta.
L'arcotangente si sa, non è una bella funzione, e bisogna stare attenti a quando la si usa: link. In questo caso infatti si potrebbe definire il potenziale \(U\) prolungato per continuità nel seguente modo:
\[U(x,y,z) = \begin{cases} z \log{(x^2+y^2)} - \arctan{\frac{x}{y}} & y \ne 0 \\ z \log{(x^2+y^2)} + \frac{\pi}{2} & y = 0\end{cases}\]
E dovremmo aver sistemato la cosa. A rigore dovremmo differenziare i casi in base ai quadranti e robe varie. L'\(\arctan\) non mi sta molto simpatica, è proprio bastarda
. Riassumendo, secondo me in questo caso il potenziale ci viene con queste patologie perchè abbiamo sbagliato a trattare la funzione \(\arctan\) che è ostica, aggiustata come sopra dovrebbe filare tutto.
In ogni caso mi ripeto: senza lanciarsi nel calcolo della primitiva si poteva concludere che \(\omega\) è esatta nell'insieme semplicemente connesso \(\Omega := \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ x > 0 \right\}\) e, dato che \(\gamma \subset \Omega\), allora la circuitazione è nulla. Questo procedimento è corretto e ti risparmia un bel po' di calcoli.
Saluti
L'arcotangente si sa, non è una bella funzione, e bisogna stare attenti a quando la si usa: link. In questo caso infatti si potrebbe definire il potenziale \(U\) prolungato per continuità nel seguente modo:
\[U(x,y,z) = \begin{cases} z \log{(x^2+y^2)} - \arctan{\frac{x}{y}} & y \ne 0 \\ z \log{(x^2+y^2)} + \frac{\pi}{2} & y = 0\end{cases}\]
E dovremmo aver sistemato la cosa. A rigore dovremmo differenziare i casi in base ai quadranti e robe varie. L'\(\arctan\) non mi sta molto simpatica, è proprio bastarda
. Riassumendo, secondo me in questo caso il potenziale ci viene con queste patologie perchè abbiamo sbagliato a trattare la funzione \(\arctan\) che è ostica, aggiustata come sopra dovrebbe filare tutto.In ogni caso mi ripeto: senza lanciarsi nel calcolo della primitiva si poteva concludere che \(\omega\) è esatta nell'insieme semplicemente connesso \(\Omega := \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ x > 0 \right\}\) e, dato che \(\gamma \subset \Omega\), allora la circuitazione è nulla. Questo procedimento è corretto e ti risparmia un bel po' di calcoli.
Saluti
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