Problema con calcolo somma della serie

[ing_mecc]

raga.. ho bisogno di aiuto... sto facendo esercizi in preparazione all'esame... mi sono bloccato su questo:

Calcola la somma della serie:

$\sum_{k>=3} (n-1)/4^(n-2)

ho provato a ricondurmi ad una serie geometrica ma nulla...

[franced]

prova a spezzare:

$\sum_{n>=3} (n-1)/4^(n-2) = \sum_{n>=3} n/(4^(n-2)) - \sum_{n>=3} 1/(4^(n-2))$

Poi guarda bene quel $1/4^(n-2)$:
lo puoi scrivere così:

$4^2/(4^n) = 16/4^n$

Prova a continuare.

[ing_mecc]

"franced":prova a spezzare:

$\sum_{n>=3} (n-1)/4^(n-2) = \sum_{n>=3} n/(4^(n-2)) - \sum_{n>=3} 1/(4^(n-2))$

Poi guarda bene quel $1/4^(n-2)$:
lo puoi scrivere così:

$4^2/(4^n) = 16/4^n$

Prova a continuare.

grazie per la dritta ... provo e più tardi vi farò avere notizie...

[franced]

"franced":prova a spezzare:

$\sum_{n>=3} (n-1)/4^(n-2) = \sum_{n>=3} n/(4^(n-2)) - \sum_{n>=3} 1/(4^(n-2))$

Poi guarda bene quel $1/4^(n-2)$:
lo puoi scrivere così:

$4^2/(4^n) = 16/4^n$

Prova a continuare.

Guardando bene conviene scrivere:

$1/4^(n-2) = 4/4^(n-1)$

in questo modo la prima somma si può scrivere così:

$\sum_{n>=3} n/(4^(n-2)) = 4 \cdot \sum_{n>=3} n/(4^(n-1)) = 4 \cdot \sum_{n>=3} n \cdot(1/4)^(n-1) $

ora puoi utilizzare il teorema per la derivata di una serie geometrica.

[ing_mecc]

la seconda parte dopo i vari calcoli dal punto da cui mi hai consigliato di continuare da solo può diventare così

$16*\sum_{n>=3} (1)/4^(n) $ ?

Essendo una serie geometrica di ragione q<1 ,posso calcolarne la somma con la nota formula $1/(1-q)$ e poi moltiplicare il valore ottenuto per 16 che è fuori dal simbolo di serie?

[Dorian1]

"franced":

ora puoi utilizzare il teorema per la derivata di una serie geometrica.

Non ne ho mai sentito parlare... Di cosa si tratta?

[Sk_Anonymous]

Vuol dire, in parole povere, che puoi derivare/integrare l'argomento della serie. Nel tuo caso:

$sum_{n=3}^{+oo}n*(1/4)^(n-1)=d/(dn)\sum_{n=3}^{+oo}(1/4)^n$

Non ti resta che stimare la serie $\sum_{n=3}^{+oo}(1/4)^n$ (che è una geometrica) e derivare il risultato rispetto a $n$.

[franced]

"matths87":Vuol dire, in parole povere, che puoi derivare/integrare l'argomento della serie. Nel tuo caso:

$sum_{n=3}^{+oo}n*(1/4)^(n-1)=d/(dn)\sum_{n=3}^{+oo}(1/4)^n$

Non ti resta che stimare la serie $\sum_{n=3}^{+oo}(1/4)^n$ (che è una geometrica) e derivare il risultato rispetto a $n$.

La derivata non è rispetto ad $n$.

[Megan00b]

Sono ignorante...che vuol dire il simbolo $d/(dn)$ dove $n in NN$?

[Eredir]

"matths87":Vuol dire, in parole povere, che puoi derivare/integrare l'argomento della serie. Nel tuo caso:

$sum_{n=3}^{+oo}n*(1/4)^(n-1)=d/(dn)\sum_{n=3}^{+oo}(1/4)^n$

Scritta così effettivamente è sbagliata, io direi piuttosto $sum_{n=0}^{+oo}n*q^(n-1)=d/(dq)\sum_{n=0}^{+oo}q^n$.

[franced]

"Eredir":[quote="matths87"]Vuol dire, in parole povere, che puoi derivare/integrare l'argomento della serie. Nel tuo caso:

$sum_{n=3}^{+oo}n*(1/4)^(n-1)=d/(dn)\sum_{n=3}^{+oo}(1/4)^n$

Scritta così effettivamente è sbagliata, io direi piuttosto $sum_{n=0}^{+oo}n*q^(n-1)=d/(dq)\sum_{n=0}^{+oo}q^n$.[/quote]


Ora sì!

[franced]

Vediamo in generale le serie "quasi" geometriche:

$\sum_{n=1}^{+infty} n q^n = q/(1-q)^2$ .

calcoliamo anche:

$\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 q^n = (q^2+q)/(1-q)^3$ .

e, visto che ci siamo, anche:

$\sum_{n=1}^{+\infty} n^3 q^n = (q^3+4q^2+q)/(1-q)^4$

In generale, servono i numeri Euleriani.

Per chi ne volesse sapere di più consiglio il numero 3 (2003) della
rivista "Archimede".
L'articolo è di A. Rabuzzi.