Problema con calcolo flusso campo vettoriale
Ciao ragazzi ho dei problemi con questo esercizio che come anticipato nel titolo mi chiede di calcolare il flusso del campo vettoriale. Il campo in questione è w(x,y,z)=$ x^2 i -yj -zk$ attraverso la porzione S di superficie Cilindrica di equazione $y^2+z^2=2$ con $-1<=x<=3$ contenuta nel semispazio $z<=0$,orientata verso l'alto( terza componente del versore normale positiva). Non so proprio come iniziare , se usare la definizione di flusso o il teorema della convergenza. Grazie in anticipo 
Risposte
Mah... diciamo che cosa usare dipende un po' dai tuoi gusti. Onestamente, io credo che te la possa cavare tranquillamente usando la definizione, senza dover invocare il teorema della DIVERGENZA (non convergenza), soprattutto se, come peraltro ho capito, occorre studiare solo il flusso attraverso la superficie laterale. Adesso, tocca a te... idee su come parametrizzare \( S \)?
Grazie per la risposta. Credo che una parametrizzazione possa essere $y=rhocostheta$ $z=rhosintheta$ $x=rho$ con $thetain[0,2phi]$ $rhoin[0,sqrt(2)]$ ma non ne sono sicuro .
Ti faccio osservare un po' di cose che succedono se usi questa parametrizzazione:
1) \( y^2 + z^2 = \rho^2 \in [0,2] \); invece, dovrebbe essere \( y^2 + z^2 = 2 \);
2) \( x = \rho \in [0,\sqrt{2}] \), mentre dovrebbe essere \( x \in [-1,3] \);
3) prendendo \( \theta \in [0,2\pi] \) la funzione \( z = \rho \sin \theta \) prende segno variabile, mentre dovrebbe essere non-positiva.
Forse queste considerazioni possono aiutarti a riconsiderare il problema e correggere in modo opportuno la parametrizzazione... stai parametrizzando una (mezza) superficie cilindrica con asse di simmetria asse \( x \), quindi...
1) \( y^2 + z^2 = \rho^2 \in [0,2] \); invece, dovrebbe essere \( y^2 + z^2 = 2 \);
2) \( x = \rho \in [0,\sqrt{2}] \), mentre dovrebbe essere \( x \in [-1,3] \);
3) prendendo \( \theta \in [0,2\pi] \) la funzione \( z = \rho \sin \theta \) prende segno variabile, mentre dovrebbe essere non-positiva.
Forse queste considerazioni possono aiutarti a riconsiderare il problema e correggere in modo opportuno la parametrizzazione... stai parametrizzando una (mezza) superficie cilindrica con asse di simmetria asse \( x \), quindi...
In effetti ho scritto una grande scemenza...spero non lo sia anche questa $y=sqrt(2)costheta z=sqrt(2)sintheta x=rho $ con $thetain[-pi,0] rhoin[-1,3]$
Ora sì 
Ok grazie . Ora quindi calcolando le derivate parziali secondo $rho$ e $theta$ ottenendo la matrice $((i,j,k),(1,0,0),(0,-sqrt(2)sintheta,sqrt(2)costheta))$ ed essendo il determinante 0 il flusso sarà zero giusto?
. Ora quindi calcolando le derivate parziali secondo $rho$ e $theta$ ottenendo la matrice $((i,j,k),(1,0,0),(0,-sqrt(2)sintheta,sqrt(2)costheta))$ ed essendo il determinante 0 il flusso sarà zero giusto?
Allora... occorre fare un po' di attenzione. Ti riassumo i fatti salienti di cui dobbiamo tenere conto per svolgere questo esercizio.
Si supponga assegnata una superficie regolare orientabile, di parametrizzazione
\[
\varphi \colon (u,v) \in D \subset \mathbb{R}^2 \mapsto \varphi(u,v) := \big ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \big ) \in \mathbb{R}^3,
\]
e denotiamo con \( \Sigma \) il suo sostegno, ossia esplicitamente \( \Sigma := \varphi(D) \).
Se \( \mathbf{F} = F_{1} \mathbf{i} + F_{2} \mathbf{j} + F_{3} \mathbf{k} \) è un campo vettoriale continuo definito in una regione \( \Omega \) di \( \mathbb{R}^3 \) tale che \( \Sigma \subset \Omega \), allora si definisce flusso del campo vettoriale \( \mathbf{F} \) attraverso \( \Sigma \) la quantità scalare data da
(1)
\[
\Phi_{\Sigma} (\mathbf{F}) := \int_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\nu} \, d\sigma,
\]
ove con \( \mathbf{\nu} \) si è denotato il campo continuo di versori normali definito su \( \Sigma \).
Ora, nelle nostre ipotesi si ha che il versore normale alla superficie \( \Sigma \) nel generico punto \( \mathrm{P} = \varphi(u,v) \) è dato da
\[
\mathbf{\nu} (\mathrm{P}) = \frac{\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}}{|\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}|},
\]
ove \( \varphi_{u} \) e \( \varphi_{v} \) sono le derivate parziali della parametrizzazione, il simbolo \( \wedge \) denota il prodotto vettoriale in \( \mathbb{R}^3 \) e \( | \cdot | \) è la norma euclidea in \( \mathbb{R}^3 \). Tutte le derivate sono calcolate in \( (u,v) \). Così, il calcolo esplicito dell'integrale di superficie che definisce il flusso in (1) fornisce:
(2)
\[
\begin{split}
\Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) &= \int_{D} \mathbf{F}\big ( \varphi(u,v) \big ) \cdot \frac{\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}}{|\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}|}(u,v) \, \, |\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}| (u,v) \, dudv \\
&= \int_{D} \mathbf{F}\big ( \varphi(u,v) \big ) \cdot \big ( \varphi_{u} \wedge \varphi_{v} \big )(u,v) \, dudv.
\end{split}
\]
Adesso resta da ricordare come si calcola il prodotto vettoriale. E qui arriva la tua cosiddetta matrice, che in fin dei conti matrice vera e propria non è. Quello che certamente ti hanno detto è che un modo comodo per ricordare la definizione del prodotto vettoriale in \( \mathbb{R}^3 \) è quello di scriverlo come sviluppo formale del determinante della "matrice"
\[
\begin{pmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{pmatrix}
\]
secondo Laplace, sviluppato rispetto alla prima riga. Il risultato è evidentemente una combinazione lineare dei versori \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) e \( \mathbf{k} \), e quindi un vettore di \( \mathbb{R}^3 \). A questo punto, puoi facilmente constatare che l'integrando nell'ultima relazione della (2) può essere scritto nella forma di un (vero e proprio) determinante di una (vera) matrice. Esplicitamente:
\[
\mathbf{F}\big ( \varphi(u,v) \big ) \cdot \big ( \varphi_{u} \wedge \varphi_{v} \big )(u,v) =
\begin{vmatrix}
F_{1} & F_{2} & F_{3} \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{vmatrix},
\]
dove le componenti del campo sono calcolate in \( \varphi(u,v) \) e le derivate della parametrizzazione in \( (u,v) \).
Adesso, se le idee sono un po' più chiare, tocca a te farci sapere:
(a) cosa è il determinante della matrice che hai scritto nel tuo precedente post (e non è zero! );
(b) quanto vale il prodotto scalare con il campo vettoriale;
(c) quanto risulta il flusso alla fine.
Forza!
Si supponga assegnata una superficie regolare orientabile, di parametrizzazione
\[
\varphi \colon (u,v) \in D \subset \mathbb{R}^2 \mapsto \varphi(u,v) := \big ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \big ) \in \mathbb{R}^3,
\]
e denotiamo con \( \Sigma \) il suo sostegno, ossia esplicitamente \( \Sigma := \varphi(D) \).
Se \( \mathbf{F} = F_{1} \mathbf{i} + F_{2} \mathbf{j} + F_{3} \mathbf{k} \) è un campo vettoriale continuo definito in una regione \( \Omega \) di \( \mathbb{R}^3 \) tale che \( \Sigma \subset \Omega \), allora si definisce flusso del campo vettoriale \( \mathbf{F} \) attraverso \( \Sigma \) la quantità scalare data da
(1)
\[
\Phi_{\Sigma} (\mathbf{F}) := \int_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\nu} \, d\sigma,
\]
ove con \( \mathbf{\nu} \) si è denotato il campo continuo di versori normali definito su \( \Sigma \).
Ora, nelle nostre ipotesi si ha che il versore normale alla superficie \( \Sigma \) nel generico punto \( \mathrm{P} = \varphi(u,v) \) è dato da
\[
\mathbf{\nu} (\mathrm{P}) = \frac{\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}}{|\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}|},
\]
ove \( \varphi_{u} \) e \( \varphi_{v} \) sono le derivate parziali della parametrizzazione, il simbolo \( \wedge \) denota il prodotto vettoriale in \( \mathbb{R}^3 \) e \( | \cdot | \) è la norma euclidea in \( \mathbb{R}^3 \). Tutte le derivate sono calcolate in \( (u,v) \). Così, il calcolo esplicito dell'integrale di superficie che definisce il flusso in (1) fornisce:
(2)
\[
\begin{split}
\Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) &= \int_{D} \mathbf{F}\big ( \varphi(u,v) \big ) \cdot \frac{\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}}{|\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}|}(u,v) \, \, |\varphi_{u} \wedge \varphi_{v}| (u,v) \, dudv \\
&= \int_{D} \mathbf{F}\big ( \varphi(u,v) \big ) \cdot \big ( \varphi_{u} \wedge \varphi_{v} \big )(u,v) \, dudv.
\end{split}
\]
Adesso resta da ricordare come si calcola il prodotto vettoriale. E qui arriva la tua cosiddetta matrice, che in fin dei conti matrice vera e propria non è. Quello che certamente ti hanno detto è che un modo comodo per ricordare la definizione del prodotto vettoriale in \( \mathbb{R}^3 \) è quello di scriverlo come sviluppo formale del determinante della "matrice"
\[
\begin{pmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{pmatrix}
\]
secondo Laplace, sviluppato rispetto alla prima riga. Il risultato è evidentemente una combinazione lineare dei versori \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) e \( \mathbf{k} \), e quindi un vettore di \( \mathbb{R}^3 \). A questo punto, puoi facilmente constatare che l'integrando nell'ultima relazione della (2) può essere scritto nella forma di un (vero e proprio) determinante di una (vera) matrice. Esplicitamente:
\[
\mathbf{F}\big ( \varphi(u,v) \big ) \cdot \big ( \varphi_{u} \wedge \varphi_{v} \big )(u,v) =
\begin{vmatrix}
F_{1} & F_{2} & F_{3} \\
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{vmatrix},
\]
dove le componenti del campo sono calcolate in \( \varphi(u,v) \) e le derivate della parametrizzazione in \( (u,v) \).
Adesso, se le idee sono un po' più chiare, tocca a te farci sapere:
(a) cosa è il determinante della matrice che hai scritto nel tuo precedente post (e non è zero!
);(b) quanto vale il prodotto scalare con il campo vettoriale;
(c) quanto risulta il flusso alla fine.
Forza!
Allora essendo (almeno spero) la matrice $|(phi^2,-sqrt(2)costheta,-sqrt(2)sintheta),(1,0,0),(0,-sqrt(2)sintheta,sqrt(2)costheta)|$ uguale a 2 l'integrale darà risultato $8pi$. Spero di averci azzeccato stavolta Ahah
Bene. Ovviamente, nelle tue notazioni il primo elemento della matrice è \( \rho^2 \). Più chiaro, adesso?
Finalmente.Si ora si ti ringrazio veramente tanto gentilissimo:). Ultima cosa dicendo essere la terza componente del versore normale non mi troveremo ad integrare -2?
Non ho capito la domanda...
Dovendo essere la terza componente del versore normale positiva cambiara qualcosa nei calcoli?
Per rispondere alla tua domanda, ti invito a calcolare esplicitamente il vettore normale effettuando lo sviluppo formale del determinante di quella "pseudomatrice" avente i versori coordinati sulla prima riga. Così, potrai dare un'occhiata alla terza componente, e vedere se è positiva o negativa. Ovviamente, se fosse il normale "sbagliato", basta cambiare segno al risultato dell'integrale!
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