Problema con asintoto obliquo e studio derivata
Oggi sono in vena 
, vi chiedo aiuto per quanto riguarda lo studio dell'asintoto obliquo e quello della derivata di questa funzione
f(x) = $(x+1)e^((x+1)/(x+2))$
in quanto il limite di
$lim_(x\to\infty)(((x+1)e^((x+1)/(x+2)))/x)$ = e
ma calcolando poi q $lim_(x\to\infty)((x+1)e^((x+1)/(x+2)) - ex)$ mi esce infinito, guardando la soluzione col grafico però sembra esserci effettivamente un asintoto obliquo, quindi deduco che il mio risultato sia sbagliato.
Inoltre sembrano esserci anche un massimo ed un minimo studiando la derivata che io ho calcolato cosi
y'= $e^((x+1)/(x+2))(1+(x+1)/(x+2)^2)$
che a me non risultano, non so se a causa di errori nella derivata o nello studio del segno. Vi ringrazio come sempre in anticipo!
, vi chiedo aiuto per quanto riguarda lo studio dell'asintoto obliquo e quello della derivata di questa funzionef(x) = $(x+1)e^((x+1)/(x+2))$
in quanto il limite di
$lim_(x\to\infty)(((x+1)e^((x+1)/(x+2)))/x)$ = e
ma calcolando poi q $lim_(x\to\infty)((x+1)e^((x+1)/(x+2)) - ex)$ mi esce infinito, guardando la soluzione col grafico però sembra esserci effettivamente un asintoto obliquo, quindi deduco che il mio risultato sia sbagliato.
Inoltre sembrano esserci anche un massimo ed un minimo studiando la derivata che io ho calcolato cosi
y'= $e^((x+1)/(x+2))(1+(x+1)/(x+2)^2)$
che a me non risultano, non so se a causa di errori nella derivata o nello studio del segno. Vi ringrazio come sempre in anticipo!
Risposte
Si ha
$q=\lim_{x\to \infty}[e^{{x+1}/{x+2}}+x(e^{{x+1}/{x+2}}-e)]=e+\lim_{x\to\infty}[x(e^{{x+1}/{x+2}}-e)]$
Posto nel secondo limite $t=1/x$ si ha, usando il fatto che $1/{1-s}=1+s+o(s^2)$
$q=e+\lim_{t\to 0}\frac{e^{{1+t}/{1+2t}}-e}{t}=e+\lim_{t\to 0}\frac{e^{(1+t)(1-2t+o(t^2))}-e}{t}=e+\lim_{t\to 0}\frac{e^{1-t}-e}{t}=e+e\cdot\lim_{t\to 0}\frac{e^{-t}-1}{t}=e-e=0$
Detta $g(x)=e^{{x+1}/{x+2}}$ la funzione diventa $f(x)=(x+1)\cdot g(x)$ e quindi
$f'(x)=g(x)+(x+1)\cdot g'(x)=g(x)+(x+1)\cdot g(x)\cdot\frac{x+2-x-1}{(x+2)^2}=g(x) (1+\frac{x+1}{(x+2)^2})$.
I punti stazionari risultano le soluzioni dell'equazione $f'(x)=0$ che si riscrive come
$(x+2)^2+x+1=0$ e quindi $x^2+5x+5=0$ le cui soluzioni sono $x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}$.
E' facile verificare che esse sono un minimo (quella col -) e un massimo (quella col +).
$q=\lim_{x\to \infty}[e^{{x+1}/{x+2}}+x(e^{{x+1}/{x+2}}-e)]=e+\lim_{x\to\infty}[x(e^{{x+1}/{x+2}}-e)]$
Posto nel secondo limite $t=1/x$ si ha, usando il fatto che $1/{1-s}=1+s+o(s^2)$
$q=e+\lim_{t\to 0}\frac{e^{{1+t}/{1+2t}}-e}{t}=e+\lim_{t\to 0}\frac{e^{(1+t)(1-2t+o(t^2))}-e}{t}=e+\lim_{t\to 0}\frac{e^{1-t}-e}{t}=e+e\cdot\lim_{t\to 0}\frac{e^{-t}-1}{t}=e-e=0$
Detta $g(x)=e^{{x+1}/{x+2}}$ la funzione diventa $f(x)=(x+1)\cdot g(x)$ e quindi
$f'(x)=g(x)+(x+1)\cdot g'(x)=g(x)+(x+1)\cdot g(x)\cdot\frac{x+2-x-1}{(x+2)^2}=g(x) (1+\frac{x+1}{(x+2)^2})$.
I punti stazionari risultano le soluzioni dell'equazione $f'(x)=0$ che si riscrive come
$(x+2)^2+x+1=0$ e quindi $x^2+5x+5=0$ le cui soluzioni sono $x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2}$.
E' facile verificare che esse sono un minimo (quella col -) e un massimo (quella col +).
tutto chiarissimo, sul limite non penso ci sarei mai arrivato, ne terrò conto per eventuali altri casi..per la derivata in effetti avevo sbagliato un segno nel binomio di secondo grado e non tornava..grazie mille
Prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo