Problema con applicazione del criterio della radice

[Vito L]

Salve a tutti ragazzi, ho un problema con l'applicazione del criterio della radice ed in particolare con la risoluzione del limite che da questa applicazione deriva.
In pratica devo studiare per quali $\x in RR$ $\sum_(n=1)^infty [(n+1)/(xn-1)]^n$ converge.
Allora, applicando il criterio della radice faccio il $\lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|^n)^(1/n)=lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|)=lim_(n->infty) (|(n)/(xn)|)=lim_(n->infty) (|1/x|)$

Ora ho qualche dubbio sul passaggio $\lim_(n->infty) (|(n+1)/(xn-1)|)=lim_(n->infty) (|(n)/(xn)|)$. Posso farlo? Mi viene un dubbio pechè se ad esempio x fosse qualcosa tipo 0 non sarebbe poi così facile..almeno credo.

Grazie mille
Vito L

[ciampax]

Quel passaggio è lecito se $x\ne 0$, ovviamente.

[Vito L]

Ok grazie ciampax..ora..nel caso in cui $\x=0$ posso procedere in questa maniera?

Applico sempre il criterio della radice ottenendo che

$\lim_(n->+infty) [[|(n+1)/(xn-1)|]^n]^(1/n)=lim_(n->+infty) |(n+1)/(xn-1)|=lim_(n->+infty) |(n+1)/(-1)|=lim_(n->+infty) |-n-1|=+infty$ quindi la serie diverge assolutamente.

Giusto?

Grazie mille

Vito L

[ciampax]

Mi sembra proprio di sì. Tuttavia, credo che, per come è definita la serie, bisogna anche escludere tutti i numeri reali della forma $x=1/m,\ m\in NN$, altrimenti per $n=m$ il termine generico della successione non è definito. Pertanto a che conclusione giungi? Per quali $x$ la serie converge?

[Vito L]

Bellissima osservazione ciampax cmq avevo trovato in precedenza (dall'applicazione del criterio della radice) che la serie convergesse per $\x>1$ e $\x<-1$ quindi penso, poiche poichè $\AAm in NN, 1/m<=1$ non vi siano poi troppi cambiamenti da fare

[ciampax]

Brav! (e non ho sbagliato a scrivere!)

[Vito L]

"ciampax":Brav! (e non ho sbagliato a scrivere!)

Che orgoglio detto da te grazie mille!