Problema Cauchy (variabili separabili)

[marck1806]

buona sera a tutti. Ho bisogno del vostro aiuto per il seguete problema di cauchy

$\{(y'=(y-1)e^x), (y(0) = 0) :}$ (risolvo per separazione di variabili)

tralascio i passaggi banali e arrivo al cuore del problema

$\ln(y-1)=e^x + c$
quindi, applicando l'exp a destra e sinistra ottengo

$\y-1 = exp(e^x+c) $
quindi
$\y = exp(e^x+c) + 1$

applicando le cond iniziali ho:
$\ 0 = exp(1+c) +1 $

il passo "istintivo" sarebbe
$\ -1 = exp(1+c) $
ma, poiche no posso applicare log a -1, quanto vale c?

grazie mille a tutti

[Camillo]

Il procedimento corretto è scrivere : $ ln|y-1| = e^x+c $ da cui imponendo la condizione iniziale ottieni $ 0= 1+c $ e quindi $c=-1 $.
Ricorda che $int dx/x = ln|x| +c $ .