Problema cauchy intervallo delle soluzioni
Salve ho difficoltà nel cercare l'intervallo delle soluzioni di tale PDC (continuo ad avere problemi purtroppo):
$ { ( y'=(1+y^2)/x ),( y(1)=0 ):} $
calcolando le soluzioni (non ci sono soluzioni costanti e posso dividere per $(1+y^2)$ )
dividendo ed integrando ho trovato che la soluzione dell'equazione differenziale è:
$y(x)=tan(log(abs(x)+c)))$
e essendo $c=0$ per le condizioni iniziali ho che $y(x)=tan(log(abs(x)))$
a questo punto non so che fare...ho notato solo che dovendo essere $x!=0$ allora l'intervallo sarà $(0, +oo)$...ma non è la soluzione del libro. qualcuno mi può aiutare?
Forse essendo la soluzione la tangente di $log(abs(x))$...la tangente esiste in $(-pi/2 , pi/2)$ poi essendoci il logaritmo verrebbe logaritmo esponenziale elevato ai valori detti prima, presi entrambi e non $(0;pi/2)$ perchè vi è il valore assoluto alla x.
giusto?
$ { ( y'=(1+y^2)/x ),( y(1)=0 ):} $
calcolando le soluzioni (non ci sono soluzioni costanti e posso dividere per $(1+y^2)$ )
dividendo ed integrando ho trovato che la soluzione dell'equazione differenziale è:
$y(x)=tan(log(abs(x)+c)))$
e essendo $c=0$ per le condizioni iniziali ho che $y(x)=tan(log(abs(x)))$
a questo punto non so che fare...ho notato solo che dovendo essere $x!=0$ allora l'intervallo sarà $(0, +oo)$...ma non è la soluzione del libro. qualcuno mi può aiutare?
Forse essendo la soluzione la tangente di $log(abs(x))$...la tangente esiste in $(-pi/2 , pi/2)$ poi essendoci il logaritmo verrebbe logaritmo esponenziale elevato ai valori detti prima, presi entrambi e non $(0;pi/2)$ perchè vi è il valore assoluto alla x.
giusto?
Risposte
La soluzione del P.d.C. mi sembra sia definita nell'intervallo $I = (e^(-pi/2), e^(pi/2))$. Potresti chiarire cosa non ti torna?
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