Problema Cauchy e trasf- di Laplace
salve, ho un esercizio che mi richiede di verificare che la soluzione:
$X(s)=(s+1)/(s-1)^2$
sia soluzione del seguente problema di cauchy:
$x''-7x'+6x=-10e^t$
$x(0)=1$
$x'(0)=3$
io procederei con il calcolare l'antitrasformata della soluzione, poi calcolarne la derivata prima e seconda e vedere se soddisfano l'uguaglianza $x''-7x'+6x=-10e^t$.
Però ho dei problemi nel calcolare l'antitrasformata, vi scrivo i miei passaggi fino a dove son capace di arrivare:
$L^-1[X(s)]=L^-1[(s+1)/(s-1)^2]=L^-1[1/(s-1)]+L^-1[2/(s-1)^2]=e^t+L^-1[2/(s-1)^2]$
da adesso in poi mi risulta impossibile trovare un modo per decomporre ulteriormente $L^-1[2/(s-1)^2]$ ed arrivare alla sua antitrasformata seguendo le tabelle in mio possesso...
Spero in un aiuto. Grazie.
PS. è abbastanza urgente... ho esame martedì mattina...
$X(s)=(s+1)/(s-1)^2$
sia soluzione del seguente problema di cauchy:
$x''-7x'+6x=-10e^t$
$x(0)=1$
$x'(0)=3$
io procederei con il calcolare l'antitrasformata della soluzione, poi calcolarne la derivata prima e seconda e vedere se soddisfano l'uguaglianza $x''-7x'+6x=-10e^t$.
Però ho dei problemi nel calcolare l'antitrasformata, vi scrivo i miei passaggi fino a dove son capace di arrivare:
$L^-1[X(s)]=L^-1[(s+1)/(s-1)^2]=L^-1[1/(s-1)]+L^-1[2/(s-1)^2]=e^t+L^-1[2/(s-1)^2]$
da adesso in poi mi risulta impossibile trovare un modo per decomporre ulteriormente $L^-1[2/(s-1)^2]$ ed arrivare alla sua antitrasformata seguendo le tabelle in mio possesso...
Spero in un aiuto. Grazie.
PS. è abbastanza urgente... ho esame martedì mattina...
Risposte
scusa se sono franco, ma a 3 giorni dall' esame non conosci una delle pochissime trasformate notevoli ?
comunque è: $t^(n-1)/(n!)e^(-s_0t) => 1/(s - s_0)^(n)$
comunque è: $t^(n-1)/(n!)e^(-s_0t) => 1/(s - s_0)^(n)$
questo è il formulario che ho a disposizione:
http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... ulario.pdf
per piacere mi dici come dovrei ricavare la tua formula da questo formulario? grazie.
io onestamente non ho mai visto nessuna trasformata notevole (al di fuori di quelle nel link), nel mio corso ci hanno dato questo formulario, ci hanno detto che all'esame possiamo portarlo e che qui dentro ci sarebbe stato tutto l'occorrente, tutti gli esercizi che abbiam fatto in aula sono stati risolti con e soltanto con questo formulario......
http://calvino.polito.it/~terzafac/Cors ... ulario.pdf
per piacere mi dici come dovrei ricavare la tua formula da questo formulario? grazie.
io onestamente non ho mai visto nessuna trasformata notevole (al di fuori di quelle nel link), nel mio corso ci hanno dato questo formulario, ci hanno detto che all'esame possiamo portarlo e che qui dentro ci sarebbe stato tutto l'occorrente, tutti gli esercizi che abbiam fatto in aula sono stati risolti con e soltanto con questo formulario......
"stefano_89":
scusa se sono franco, ma a 3 giorni dall' esame non conosci una delle pochissime trasformate notevoli ?
comunque è: $t^(n-1)/(n!)e^(-s_0t) => 1/(s - s_0)^(n)$
e comunque hai sbagliato a scriverla, dovrebbe essere così:
$t^(n-1)/((n-1)!)e^(s_0t) => 1/(s - s_0)^(n)$
la prossima volta cerca di essere meno franco, ma più attento....
ah si errore di battitura.. 
in qualunque caso: http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Laplace
EDIT: la ricavi dalla derivazione in s di $e^(s_0t)$
in qualunque caso: http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Laplace
EDIT: la ricavi dalla derivazione in s di $e^(s_0t)$
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