Problema cauchy

[asker993]

ciao, ho notato che sui test passati di analisi 1 trovo spesso domande come:
indicate quale grafico vicino all'origine meglio rappresenta la soluzione del problema doi cauchy y(x)

$y'=sen(y) + x$
$y(0)=π/2$

e ci sono poi 4 grafici...ma quello che vorrei capire è come analizzare la funzione? Io pensavo di cercar di capire la pendenza della funzione ma non saprei dove metter mano in quel problema di cauchy...cioè, non sarei capace di risolverlo esplicitamente...voi come fareste?

[gugo82]

Quel problema non può essere risolto esplicitamente.
Proprio per questo ti si chiede di ragionare su cosa accare al grafico della soluzione (che esiste, per il teorema di esistenza ed unicità, pur se non può essere calcolata).

Usando la EDO e la condizione iniziale trovi che:
\[
y^\prime (0) = \sin y(0) + 0 = \sin \frac{\pi}{2} = 1
\]
e quindi la retta tangente al grafico della soluzione del PdC in \((0,\pi/2)\) è parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante; d'altro canto, essendo \(y^\prime\) una funzione continua, la derivata prima della soluzione rimane positiva intorno a \(0\) (per permanenza del segno), quindi la soluzione del PdC è crescente intorno a \(0\). Inoltre, derivando m.a.m. la EDO trovi:
\[
y^{\prime \prime} (x) = y^\prime (x)\ \cos y(x) + 1
\]
cosicché:
\[
y^{\prime \prime} (0) = y^\prime (0)\ \cos y(0) + 1 = 1\cdot 0 + 1 =1\; ;
\]
dato che \(y^{\prime \prime}\) è continua intorno a \(0\), da ciò segue che la derivata seconda della soluzione del PdC è positiva intorno a \(0\), quindi la soluzione è convessa intorno a \(0\).

Tra le alternative grafiche proposte scommetto che ce n'è una sola che è crescente e convessa intorno a \(0\), o no?

[asker993]

grazie mille a tutti e 2, chiarissimo mi avete risolto un dubbio pesante