Problema calcolo equazione differenziale di eulero completa
ho la seguente equazione differenziale completa da risolvere in $(0,+oo)$
$x^3y^(''')+3x^2y^('')-2xy^(')=logx$
divido tutto per $x^3$ ottenendo così: $y^(''')+3/xy^('')-2/(x^2)y^(')=logx/x^3$
adesso risolvo in $(0,+oo)$ l'equazione omogenea riconducendo l'equazione di eulero ad una equazione lineare di ordine $III$ ovvero $z^3-3=0$ (non scrivo i passaggi data l'ora). Risolvo l'equazione lineare trovando così 3 radici. una reale e una complessa e la sua coniugata. scrivo così l'integrale generale dell'omogenea
$c_1x^(root(3)3)+c_2x^(-(root(3)3)/2)cos(root(6)(3^5)/2logx)+c_3x^(-(root(3)3)/2)sin(root(6)(3^5)/2logx)$
Supponendo che i miei calcoli siano giusti risolvo l'equazione completa tramite Lagrange. Ma qui il panico totale. Devo scrivere
$c_1x^(root(3)3)+c_2x^(-(root(3)3)/2)cos(root(6)(3^5)/2logx)+c_3x^(-(root(3)3)/2)sin(root(6)(3^5)/2logx)+c_1(x)x^(root(3)3)+c_2(x)x^(-(root(3)3)/2)cos(root(6)(3^5)/2logx)+c_3(x)x^(-(root(3)3)/2)sin(root(6)(3^5)/2logx)$
e calcolarmi $c_1(x),c_2(x),c_3(x)$ scrivendo la matrice Wronskiana. Esatto?
$x^3y^(''')+3x^2y^('')-2xy^(')=logx$
divido tutto per $x^3$ ottenendo così: $y^(''')+3/xy^('')-2/(x^2)y^(')=logx/x^3$
adesso risolvo in $(0,+oo)$ l'equazione omogenea riconducendo l'equazione di eulero ad una equazione lineare di ordine $III$ ovvero $z^3-3=0$ (non scrivo i passaggi data l'ora). Risolvo l'equazione lineare trovando così 3 radici. una reale e una complessa e la sua coniugata. scrivo così l'integrale generale dell'omogenea
$c_1x^(root(3)3)+c_2x^(-(root(3)3)/2)cos(root(6)(3^5)/2logx)+c_3x^(-(root(3)3)/2)sin(root(6)(3^5)/2logx)$
Supponendo che i miei calcoli siano giusti risolvo l'equazione completa tramite Lagrange. Ma qui il panico totale. Devo scrivere
$c_1x^(root(3)3)+c_2x^(-(root(3)3)/2)cos(root(6)(3^5)/2logx)+c_3x^(-(root(3)3)/2)sin(root(6)(3^5)/2logx)+c_1(x)x^(root(3)3)+c_2(x)x^(-(root(3)3)/2)cos(root(6)(3^5)/2logx)+c_3(x)x^(-(root(3)3)/2)sin(root(6)(3^5)/2logx)$
e calcolarmi $c_1(x),c_2(x),c_3(x)$ scrivendo la matrice Wronskiana. Esatto?
Risposte
qualcuno ha appunti o suggerimenti sull'uso del metodo di lagrange?
Non proprio. Hai la tua equazione generale no? Al posto delle costanti sostituisci delle funzioni non meglio precisate ( di solito si chiamano $\gamma_(1,2,...)(x)$ ). Ti calcoli in wronskiano, che nel tuo caso è il determinante di una matrice 3x3, dopodichè applichi cramer, calcolando il determinante della matrice ottenuta da quella del wronskiano, alla quale sostituisci alla i-esima colonna una colonna di del tipo $ (0, 0, f(x) ) $ con f(x) intendo il termine in x dell'eq differenziale originaria.
Poi devi dividere il determinante di questa matrice per il wronskiano, e così facendo ti trovi $ \gamma_(1,2,...)'(x) $, che poi devi integrare.
Fidati, è molto più semplice a farsi che a dirsi
Poi devi dividere il determinante di questa matrice per il wronskiano, e così facendo ti trovi $ \gamma_(1,2,...)'(x) $, che poi devi integrare.
Fidati, è molto più semplice a farsi che a dirsi
"pater46":
Non proprio. Hai la tua equazione generale no? Al posto delle costanti sostituisci delle funzioni non meglio precisate ( di solito si chiamano $\gamma_(1,2,...)(x)$ ). Ti calcoli in wronskiano, che nel tuo caso è il determinante di una matrice 3x3, dopodichè applichi cramer, calcolando il determinante della matrice ottenuta da quella del wronskiano, alla quale sostituisci alla i-esima colonna una colonna di del tipo $ (0, 0, f(x) ) $ con f(x) intendo il termine in x dell'eq differenziale originaria.
Poi devi dividere il determinante di questa matrice per il wronskiano, e così facendo ti trovi $ \gamma_(1,2,...)'(x) $, che poi devi integrare.
Fidati, è molto più semplice a farsi che a dirsi
ma la matrice 3x3 è composta dalla prima riga rispettivamente da $x^(root(3)3)$, $x^(-root(3)3/2)cos(root(6)(3^5)/2logx)$ e $x^(-root(3)3/2)sin(root(6)(3^5)/2logx)$ e le altre righe dalle loro derivate giusto?
si, le loro derivate prime e seconde.
"pater46":
si, le loro derivate prime e seconde.
vengono derivate pazzesche!!!
Effettivamente quegli esponenziali sono un pò rognosi... utilizza le proprietà dei determinanti per aiutarti. Altrimenti se mi dai un suggerimento sulla sostituzione che hai adoperato ( perdona la mia pigrizia! ) provo a risolverla anche io.
"pater46":
Effettivamente quegli esponenziali sono un pò rognosi... utilizza le proprietà dei determinanti per aiutarti. Altrimenti se mi dai un suggerimento sulla sostituzione che hai adoperato ( perdona la mia pigrizia! ) provo a risolverla anche io.
$z(t)=y(e^t)$ la sostituzione che ho effettuato. $x=e^t$
Soluzione completa
$y=Ax^(-sqrt 3)+Bx^(sqrt 3)-1/6log^2x+C$
$y=Ax^(-sqrt 3)+Bx^(sqrt 3)-1/6log^2x+C$
"ziomauri":
Soluzione completa
$y=Ax^(-sqrt 3)+Bx^(sqrt 3)-1/6log^2x+C$
ma le soluzioni dell'equazione lineare ottenuta dall'equazione di eulero di partenza sono complesse quindi ci dovrebbe essere anche il seno e coseno.
A me risulta $z^3-3z=0$ e non $z^3-3=0$
Adesso è tardi e se ne parla domani per i dettagli.Magari potrei aver sbagliato io ma ho verificato i calcoli varie volte.Del resto la soluzione che ho postato soddisfa l'equazione data.Se vuoi verificare pure tu...
Adesso è tardi e se ne parla domani per i dettagli.Magari potrei aver sbagliato io ma ho verificato i calcoli varie volte.Del resto la soluzione che ho postato soddisfa l'equazione data.Se vuoi verificare pure tu...
"ziomauri":
A me risulta $z^3-3z=0$ e non $z^3-3=0$
Adesso è tardi e se ne parla domani per i dettagli.Magari potrei aver sbagliato io ma ho verificato i calcoli varie volte.Del resto la soluzione che ho postato soddisfa l'equazione data.Se vuoi verificare pure tu...
Si si Confermo 100%.calcoli effettuati. Facevo un errore sempre in un punto.adesso ci siamo.Ti ringrazio tanto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo