Problema calcolo della somma di una serie

[alee10x]

vorrei sapere se qualcuno sa come trovare la somma di una serie usando un integrale..o comunque in qualche altro modo, vi faccio un esempio:

$\sum_{0}^infty (n+6)/(n^4+n^2+1)$

so che questa serie diventerà:

$\sum_{0}^infty (n+6)/(n^4+n^2+1) $ $sim$ $ 1/n^3$ che è una serie armonica convergente, ora dovrei trovare il numero di termini che occorre sommare perché l errore commesso sia minore di $10^-2$(e qui arrivano i problemi)

so che dovrò trovare la somma per poi metterla in $|S-Sn|
è giusto? e soprattutto come trovo la somma? io so che per il teorema di cauchy se una serie converge all aumentare di n i termini diventeranno sempre più piccoli fino ad essere ininfluenti....ma ci metto troppo a trovare la somma così(sommando..), so che esiste un metodo che usa un integrale...per favore aiutatemi.

[piadinaro1]

In generale non riuscirai a trovare il valore esatto della somma comunque puoi provare a maggiorare la serie (e quindi l'errore che commetti troncando la somma) con qualcosa di più trattabile. Non so se il metodo con l'integrale è quello che ho in mente io comunque: consideri $f(x)=\frac{x+6}{x^4+x^2+1}$. Allora se f è positiva e decrescente $ int_n^{+infty}f(x) dx \geq sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{k+6}{k^4+k^2+1}$.
Per farti un'idea considera il grafico della funzione e le somme inferiori (come quelle che usi per definire gli integrali) prendendo come decomposizione gli interi. La somma delle aree dei rettangoli è la serie da n+1 in poi, l'area sotto la funzione è rappresentata dall'integrale.
Per tornare al problema: l'integrale si sa risolvere (soffrendo un po'): limitando quello hai la limitazione sull'errore della serie troncata.