Problema arcotangente

[Marco214]

Salve ragazzi

Sentite il seguente quesito d'esame:

"Dare la definizione di funzione derivabile in un punto.

Applicando la definizione dire se la seguente funzione è derivabile nel suo insieme di definizione:


arctgx x<0
f(x)= 0 x=0
log(1+x) x>0

(il logaritmo è di base a)

Adesso affinchè la funzione sia derivabile in un punto il limite sinistro e il limite destro del rapporto incrementale devono essere uguali...Solo che non riesco a capire come calcolare la derivata dell'arcotangente applicando la definizione.

E' più semplice ricavarla applicando il teorema di derivabilità delle funzioni inverse.

Fatemi sapere se ci riuscite.

[Principe2]

credo convenga utilizzare la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale, prima di tutto utilizzi il seguente rapporto, secondo me più comodo:
[f(x) - f(xo)]/(x-xo), e viene
(arctgx - arctgxo)/(x-xo) a te interessa il valore del limite per
x--->xo = 0. ottieni quindi

lim arctgx/x
x->0-

operi la sostituzione tgx = t e, se non ho errato i conti, il limite viene 1, che è esattamente il valore del limite, per x->0+, della derivata del logaritmo; in conclusione, salvo errori, la funzione è derivabile in tutto il dominio.