Problema approssimazione numerica con resto di Lagrange
Ciao a tutti, vorrei chiedervi aiuto con un esercizio che proprio non riesco a capire:
Si consideri $f(x) = \frac{1}{1+sin^2x}$
I)calcolare il polinomio di taylor di grado 4 di $f(x)$ centrato in $x_0 = 0$
II) stimare l'errore che si commette sostituendo il polinomio alla funzione nell'intervallo $[-1,1]$
Sulla prima parte non ho problemi, risulta $P_4(x) = 1-x^2+\frac{4}{3} x^4$ ma la seconda? Grazie in anticipo (Conosco la teoria riguardo il resto di Lagrange quindi non c'è bisogno che vi dilunghiate troppo.)
Si consideri $f(x) = \frac{1}{1+sin^2x}$
I)calcolare il polinomio di taylor di grado 4 di $f(x)$ centrato in $x_0 = 0$
II) stimare l'errore che si commette sostituendo il polinomio alla funzione nell'intervallo $[-1,1]$
Sulla prima parte non ho problemi, risulta $P_4(x) = 1-x^2+\frac{4}{3} x^4$ ma la seconda? Grazie in anticipo (Conosco la teoria riguardo il resto di Lagrange quindi non c'è bisogno che vi dilunghiate troppo.)
Risposte
Basta calcolare il resto di ordine $4$ e stimarlo per $x\in[-1,1]$, cioè trovare una costante $C$ tale che $|R_4|\le C$.
Grazie per la risposta, ma potresti spiegarti meglio? Non ho ben capito...
Calcola il resto con l'espressione di Lagrange $R_4$. Ora, tale funzione dipende da $x$ e sai che $x\in[-1,1]$. Puoi allora provare a determinare il valore massimo di $|R_4|$su tale intervallo e questo ti assicurerà che il resto (che rappresenta l'errore commesso) è inferiore a tale massimo.
Ti sarei grato se potessi essere più pratico aiutandomi a risolvere l'esercizio, perché purtroppo non riesco ancora a capire in termini pratici come svolgerlo...
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