Problema analisi 2 su un limite
Ho questo problema:
Sia
$ f(x,y)= (e^(x*y)-cosy)/(1-cosx) $ con $ (0
Detto $ l(alpha) $ il limite di $ f $ quando $ (x,y) rarr (0,0) $ lungo la retta $ y=(alpha)x $ , dire per quali $ alpha in R $ si ha $ l(alpha) = -1$.
So che deve tornare $ alpha = -1$ ma qualcuno sa spiegarmi il perchè?
Grazie!
Sia
$ f(x,y)= (e^(x*y)-cosy)/(1-cosx) $ con $ (0
Detto $ l(alpha) $ il limite di $ f $ quando $ (x,y) rarr (0,0) $ lungo la retta $ y=(alpha)x $ , dire per quali $ alpha in R $ si ha $ l(alpha) = -1$.
So che deve tornare $ alpha = -1$ ma qualcuno sa spiegarmi il perchè?
Grazie!
Risposte
Il limite lo puoi riscrivere così:
\[\lim_{x \to 0} f(x,\alpha x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x^2}-\cos{\alpha x}}{1-\cos{x}} = -1\]
Ora, espandi i termini con Taylor e otterrai:
\[\lim_{x \to 0} \left( 2\alpha + \alpha^2 + \alpha^2 x^2\right) = -1\]
Da cui ricavi \(\alpha = -1\)
Prova a farlo, se hai problemi chiedi pure
\[\lim_{x \to 0} f(x,\alpha x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x^2}-\cos{\alpha x}}{1-\cos{x}} = -1\]
Ora, espandi i termini con Taylor e otterrai:
\[\lim_{x \to 0} \left( 2\alpha + \alpha^2 + \alpha^2 x^2\right) = -1\]
Da cui ricavi \(\alpha = -1\)
Prova a farlo, se hai problemi chiedi pure
Grazie mille, ho capito il concetto! Solo che ti chiederei due favori: potresti scrivermi interamente come arrivi a quel limite con Taylor? Il mio prof lo ha solo accenato lo sviluppo di Taylor e quindi non mi ci muovo bene 
Poi esiste un altro modo per svolgere l esercizio senza Taylor? Per il motivo appena detto suppongo che lo volesse svolto in un altro modo
Poi esiste un altro modo per svolgere l esercizio senza Taylor? Per il motivo appena detto suppongo che lo volesse svolto in un altro modo
Io ho parlato di Taylor in generale ma ce la si dovrebbe cavare con i noiosi limiti notevoli. Abbiamo:
\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2} \ \ \ \ \implies \ \ \ \cos{x} \ \stackrel{(x \to 0)}{\sim} \ 1 - \frac{x^2}{2} \]
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1 \ \ \ \ \implies \ \ \ e^x \ \stackrel{(x \to 0)}{\sim} \ 1 + x \]
E quindi:
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x^2}-\cos{\alpha x}}{1-\cos{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \alpha x^2 - (1 -\frac{(\alpha x)^2)}{2}}{1- 1 + \frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}(2\alpha + \alpha^2)}{\frac{x^2}{2}} = 2\alpha + \alpha^2\]
Sapendo che deve risultare \(-1\) abbiamo:
\[2\alpha + \alpha^2 + 1 = 0\]
Che risolta da come unica soluzione \(\alpha = -1\).
Spero che sia stato più chiaro
\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2} \ \ \ \ \implies \ \ \ \cos{x} \ \stackrel{(x \to 0)}{\sim} \ 1 - \frac{x^2}{2} \]
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1 \ \ \ \ \implies \ \ \ e^x \ \stackrel{(x \to 0)}{\sim} \ 1 + x \]
E quindi:
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x^2}-\cos{\alpha x}}{1-\cos{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \alpha x^2 - (1 -\frac{(\alpha x)^2)}{2}}{1- 1 + \frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}(2\alpha + \alpha^2)}{\frac{x^2}{2}} = 2\alpha + \alpha^2\]
Sapendo che deve risultare \(-1\) abbiamo:
\[2\alpha + \alpha^2 + 1 = 0\]
Che risolta da come unica soluzione \(\alpha = -1\).
Spero che sia stato più chiaro
Si grazie mille! Poi studiando da me Taylor ho capito anche la prima risoluzione che mi hai proposto!
Ancora grazie per la disponibilità
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