Problema ai limiti

[stokesNavier]

Ciao a tutti amici
qualcuno sa darmi una mano col seguente esercizio?
Discutere al variare del parametro b appartenente a R,la risolubilità ed il numero di soluzioni del seguente problema ai limiti:


y''-4y'+4y=e^(bt)
y(0)+by'(0)=0
y(1)=0

io ho iniziato risolvendo l'equazione lineare,ma poi quando devo trovare una soluzione particolare non so come fare per via del parametro b che appunto varia.Se scelgo b=2 c'e' risonanza altrimenti no.
come posso continuare?

grazie a chiunque si muoverà per darmi una mano.

[adaBTTLS1]

mi sono cimentata, ed ho ricavato, nel caso $b=2$, un'espressione accettabile... (io ho usato x, cerco di ricopiare con t, ma se qualche volta mi sfugge... sei avvertito), mentre con $b!=2$ ho ottenuto un "mostro" in funzione di b...
ti scrivo i due risultati:
$b=2$ -> $y=(1/3-5/6t+1/2t^2)e^(2t)$
$b!=2$ -> $y=(be^(b-2)-(b+1))/((b+1)(b-2)^2) e^(2t) + (b+1-(2b+1)e^(b-2))/((b+1)(b-2)^2) t e^(2t) +1/(b-2)^2 e^(bt)$

procedimento:
soluzioni dell'equazione caratteristica $alpha^2-4alpha+4=0 -> alpha_1=alpha_2=2$
integrale generale della omogenea $y=c_1e^(2t)+c_2te^(2t)$
termine noto esponenziale -> integrale particolare della forma $Ke^(bt)$ o $Kte^(bt)$ o $Kt^2e^(bt)$, rispettivamente se b non è radice dell'equazione caratteristica o se è radice semplice dell'equazione caratteristica o se è radice doppia dell'equazione caratteristica. nel nostro caso abbiamo $Ke^(bt)$ con $b!=2$ e $Kt^2e^(2t)$ se b=2

parto dal caso $b=2$.
$q(t)=Kt^2e^(2t)$ -> $q'(t)=2Kte^(2t)(t+1)$ -> $q"(t)=2Ke^(2t)(2t^2+4t+1)$
sostituisco nell'equazione principale e ricavo K: $2Ke^(2t)(2t^2+4t+1)-8Kte^(2t)(t+1)+4Kt^2e^(2t)=e^(2t)$ -> $K=1/2$ -> $q(t)=1/2t^2e^(2t)$
$y=c_1e^(2t)+c_2te^(2t)+1/2t^2e^(2t)$ -> $y'=2c_1e^(2t)+c_2e^(2t)+2c_2te^(2t)+te^(2t)+t^2e^(2t)$
dalle condizioni ai limiti ricavo ${[c_1+2(2c_1+c_2)=0], [c_1e^2+c_2e^2+1/2e^2=0] :} -> {c_1=1/3; c_2=-5/6}$

caso $b!=2$. $q(t)=Ke^(bt) -> q'(t)=Kbe^(bt) -> q''(t)=kb^2e^(bt)$ sostituendo nell'equazione principale ricavo $K=1/(b-2)^2$ e quindi l'integrale generale diventa: $y=c_1e^(2t)+c_2te^(2t)+1/(b-2)^2e^(bt)$.
dalle condizioni ai limiti ricavo: ${[(1+2b)c_1+bc_2=-(b+1)/(b-2)^2], [c_1+c_2=-(e^(b-2))/(b-2)^2] :} -> {[c_1=(be^(b-2)-(b+1))/((b+1)(b-2)^2)], [c_2=(b+1-(2b+1)e^(b-2))/((b+1)(b-2)^2)] :}
spero di non aver commesso errori e che almeno sia stato utile. ciao.