Problema aggiunto
Sia in [tex][a,b][/tex]
[tex]\begin{cases}
Lu=f \\
B_1 u = \alpha_{11} u(a) + \alpha_{12} u'(a) + \beta_{11} u(b) + \beta_{12} u'(b) = \gamma_1 \\
B_2 u = \alpha_{21} u(a) + \alpha_{22} u'(a) + \beta_{21} u(b) + \beta_{22} u'(b) = \gamma_2 \\
\end{cases}[/tex]
Dove [tex]L = a_2(x) \frac{d^2}{dx^2} + a_1(x) \frac{d}{dx} + a_0(x)[/tex] formalmente autoaggiunto, cioè [tex]L=L^{*}[/tex].
Quindi:
[tex]\int_{a}^{b} (vLu - uLv) dx = J(u,v)_a^b[/tex] con [tex]J(u,v) = a_2 (vu' - uv')[/tex]
Come faccio a trovare le condizioni aggiunte, in questo caso generale?
[tex]\begin{cases}
Lu=f \\
B_1 u = \alpha_{11} u(a) + \alpha_{12} u'(a) + \beta_{11} u(b) + \beta_{12} u'(b) = \gamma_1 \\
B_2 u = \alpha_{21} u(a) + \alpha_{22} u'(a) + \beta_{21} u(b) + \beta_{22} u'(b) = \gamma_2 \\
\end{cases}[/tex]
Dove [tex]L = a_2(x) \frac{d^2}{dx^2} + a_1(x) \frac{d}{dx} + a_0(x)[/tex] formalmente autoaggiunto, cioè [tex]L=L^{*}[/tex].
Quindi:
[tex]\int_{a}^{b} (vLu - uLv) dx = J(u,v)_a^b[/tex] con [tex]J(u,v) = a_2 (vu' - uv')[/tex]
Come faccio a trovare le condizioni aggiunte, in questo caso generale?
Risposte
Ah boh, non lo so. Però so dove sta scritto: sul Coddington-Levinson Theory of ordinary differential equations, capitolo 11. Mi pare che ci sia pure su google books.
Grazie. Comunque ho fatto la pazzia di fare i calcoli stamattina, anche per accertarmi di avere capito il senso delle condizioni al contorno aggiunte. Li riporto qui, non si sa mai, possano servire a qualcuno.
Condizioni al contorno omogenee del problema iniziale:
[tex]\alpha_{11} u(a) + \alpha_{12} u'(a) + \beta_{11} u(b) + \beta_{12} u'(b) = 0[/tex]
[tex]\alpha_{21} u(a) + \alpha_{22} u'(a) + \beta_{21} u(b) + \beta_{22} u'(b) = 0[/tex]
Moltiplico la prima per [tex]\beta_{22}[/tex], la seconda per [tex]\beta_{12}[/tex], e le sottraggo:
[tex]( \alpha_{11} \beta_{22} - \alpha_{21} \beta_{12} ) u(a) + ( \alpha_{12} \beta_{22} - \alpha_{22} \beta_{12} ) u'(a) + ( \beta_{11} \beta_{22} - \beta_{21} \beta_{12} ) u(b) = 0[/tex]
Analogamente moltiplico la prima per [tex]\beta_{21}[/tex], la seconda per [tex]\beta_{11}[/tex], e le sottraggo:
[tex]( \alpha_{11} \beta_{21} - \alpha_{21} \beta_{11} ) u(a) + ( \alpha_{12} \beta_{21} - \alpha_{22} \beta_{11} ) u'(a) + ( \beta_{12} \beta_{21} - \beta_{22} \beta_{11} ) u'(b) = 0[/tex]
Dalle ultime 2 equazioni ricavo rispettivamente [tex]u(b)[/tex] e [tex]u'(b)[/tex]:
[tex]u(b) = \frac{ \alpha_{11} \beta_{22} - \alpha_{21} \beta_{12} }{ \beta_{21} \beta_{12} - \beta_{11} \beta_{22} } u(a) + \frac{ \alpha_{12} \beta_{22} - \alpha_{22} \beta_{12} }{ \beta_{21} \beta_{12} - \beta_{11} \beta_{22} } u'(a)[/tex]
[tex]u'(b) = \frac{ \alpha_{11} \beta_{21} - \alpha_{21} \beta_{11} }{ \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{12} \beta_{21} } u(a) + \frac{ \alpha_{12} \beta_{21} - \alpha_{22} \beta_{11} }{ \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{12} \beta_{21} } u'(a)[/tex]
Vado a sostituire nell'espressione di [tex]J(u,v)_a^b[/tex]:
[tex]J(u,v)_a^b = a_2(b) v(b) u'(b) - a_2(b) u(b) v'(b) - a_2(a) v(a) u'(a) + a_2 (a) u(a) v'(a) = 0[/tex]
Sostituendo, moltiplicando per fare sparire il denominatore, e riordinando:
[tex]u(a) [ a_2(b) v(b) ( \alpha_{11} \beta_{21} - \alpha_{21} \beta_{11} ) + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{11} \beta_{22} - \alpha_{21} \beta_{12} ) + a_2(a) v'(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) ] +[/tex]
[tex]+ u'(a) [ a_2(b) v(b) ( \alpha_{12} \beta_{21} - \alpha_{22} \beta_{11} ) + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{12} \beta_{22} - \alpha_{22} \beta_{12} ) - a_2(a) v(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) ] = 0[/tex]
Poichè l'uguaglianza deve valere per ogni coppia di valori iniziali [tex]u(a)[/tex] e [tex]u'(a)[/tex], le due espressioni entro parentesi quadre devono essere entrambe nulle:
[tex]a_2(b) v(b) ( \alpha_{11} \beta_{21} - \alpha_{21} \beta_{11} ) + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{11} \beta_{22} - \alpha_{21} \beta_{12} ) + a_2(a) v'(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) = 0[/tex]
[tex]a_2(b) v(b) ( \alpha_{12} \beta_{21} - \alpha_{22} \beta_{11} ) + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{12} \beta_{22} - \alpha_{22} \beta_{12} ) - a_2(a) v(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) = 0[/tex]
Volendo il lavoro è già finito, ma cerco di riscriverle in maniera più simmetrica.
Moltiplico la prima delle ultime 2 equazioni per [tex]\alpha_{12}[/tex], la seconda per [tex]\alpha_{11}[/tex], e le sottraggo:
[tex]a_2(b) v(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) \beta_{11} + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) \beta_{12} +[/tex]
[tex]+ a_2(a) v(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) \alpha_{11} + a_2(a) v'(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) \alpha_{12} = 0[/tex]
Analogamente moltiplico la prima per [tex]\alpha_{22}[/tex], la seconda per [tex]\alpha_{21}[/tex], e le sottraggo:
[tex]a_2(b) v(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) \beta_{21} + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) \beta_{22} +[/tex]
[tex]+ a_2(a) v(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) \alpha_{21} + a_2(a) v'(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) \alpha_{22} = 0[/tex]
Ora che sono scritte in forma più simmetrica, ricavo anche la condizione necessaria e sufficiente affinchè l'operatore [tex]L[/tex] sia autoaggiunto, imponendo che le condizioni al contorno aggiunte siano formalmente uguali a quelle del problema iniziale:
[tex]a_2(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) = a_2(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12})[/tex]
Condizioni al contorno omogenee del problema iniziale:
[tex]\alpha_{11} u(a) + \alpha_{12} u'(a) + \beta_{11} u(b) + \beta_{12} u'(b) = 0[/tex]
[tex]\alpha_{21} u(a) + \alpha_{22} u'(a) + \beta_{21} u(b) + \beta_{22} u'(b) = 0[/tex]
Moltiplico la prima per [tex]\beta_{22}[/tex], la seconda per [tex]\beta_{12}[/tex], e le sottraggo:
[tex]( \alpha_{11} \beta_{22} - \alpha_{21} \beta_{12} ) u(a) + ( \alpha_{12} \beta_{22} - \alpha_{22} \beta_{12} ) u'(a) + ( \beta_{11} \beta_{22} - \beta_{21} \beta_{12} ) u(b) = 0[/tex]
Analogamente moltiplico la prima per [tex]\beta_{21}[/tex], la seconda per [tex]\beta_{11}[/tex], e le sottraggo:
[tex]( \alpha_{11} \beta_{21} - \alpha_{21} \beta_{11} ) u(a) + ( \alpha_{12} \beta_{21} - \alpha_{22} \beta_{11} ) u'(a) + ( \beta_{12} \beta_{21} - \beta_{22} \beta_{11} ) u'(b) = 0[/tex]
Dalle ultime 2 equazioni ricavo rispettivamente [tex]u(b)[/tex] e [tex]u'(b)[/tex]:
[tex]u(b) = \frac{ \alpha_{11} \beta_{22} - \alpha_{21} \beta_{12} }{ \beta_{21} \beta_{12} - \beta_{11} \beta_{22} } u(a) + \frac{ \alpha_{12} \beta_{22} - \alpha_{22} \beta_{12} }{ \beta_{21} \beta_{12} - \beta_{11} \beta_{22} } u'(a)[/tex]
[tex]u'(b) = \frac{ \alpha_{11} \beta_{21} - \alpha_{21} \beta_{11} }{ \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{12} \beta_{21} } u(a) + \frac{ \alpha_{12} \beta_{21} - \alpha_{22} \beta_{11} }{ \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{12} \beta_{21} } u'(a)[/tex]
Vado a sostituire nell'espressione di [tex]J(u,v)_a^b[/tex]:
[tex]J(u,v)_a^b = a_2(b) v(b) u'(b) - a_2(b) u(b) v'(b) - a_2(a) v(a) u'(a) + a_2 (a) u(a) v'(a) = 0[/tex]
Sostituendo, moltiplicando per fare sparire il denominatore, e riordinando:
[tex]u(a) [ a_2(b) v(b) ( \alpha_{11} \beta_{21} - \alpha_{21} \beta_{11} ) + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{11} \beta_{22} - \alpha_{21} \beta_{12} ) + a_2(a) v'(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) ] +[/tex]
[tex]+ u'(a) [ a_2(b) v(b) ( \alpha_{12} \beta_{21} - \alpha_{22} \beta_{11} ) + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{12} \beta_{22} - \alpha_{22} \beta_{12} ) - a_2(a) v(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) ] = 0[/tex]
Poichè l'uguaglianza deve valere per ogni coppia di valori iniziali [tex]u(a)[/tex] e [tex]u'(a)[/tex], le due espressioni entro parentesi quadre devono essere entrambe nulle:
[tex]a_2(b) v(b) ( \alpha_{11} \beta_{21} - \alpha_{21} \beta_{11} ) + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{11} \beta_{22} - \alpha_{21} \beta_{12} ) + a_2(a) v'(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) = 0[/tex]
[tex]a_2(b) v(b) ( \alpha_{12} \beta_{21} - \alpha_{22} \beta_{11} ) + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{12} \beta_{22} - \alpha_{22} \beta_{12} ) - a_2(a) v(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) = 0[/tex]
Volendo il lavoro è già finito, ma cerco di riscriverle in maniera più simmetrica.
Moltiplico la prima delle ultime 2 equazioni per [tex]\alpha_{12}[/tex], la seconda per [tex]\alpha_{11}[/tex], e le sottraggo:
[tex]a_2(b) v(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) \beta_{11} + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) \beta_{12} +[/tex]
[tex]+ a_2(a) v(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) \alpha_{11} + a_2(a) v'(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) \alpha_{12} = 0[/tex]
Analogamente moltiplico la prima per [tex]\alpha_{22}[/tex], la seconda per [tex]\alpha_{21}[/tex], e le sottraggo:
[tex]a_2(b) v(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) \beta_{21} + a_2(b) v'(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) \beta_{22} +[/tex]
[tex]+ a_2(a) v(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) \alpha_{21} + a_2(a) v'(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12} ) \alpha_{22} = 0[/tex]
Ora che sono scritte in forma più simmetrica, ricavo anche la condizione necessaria e sufficiente affinchè l'operatore [tex]L[/tex] sia autoaggiunto, imponendo che le condizioni al contorno aggiunte siano formalmente uguali a quelle del problema iniziale:
[tex]a_2(b) ( \alpha_{22} \alpha_{11} - \alpha_{21} \alpha_{12} ) = a_2(a) ( \beta_{22} \beta_{11} - \beta_{21} \beta_{12})[/tex]
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