Problema
Si studi la funzione:
$f(x)=1+sqrt(x^2-2x+5)$,
e si tracci la curva $C$ di equazione $y=f(x)$,verificando la sua simmetria rispetto alla retta $x=1$.
Si determinino in particolare le equazioni $y=g_1(x)$ e $y=g_2(x)$ degli asintoti di $C$.
Si determini sull'asse delle ascisse l'intervallo $I$ di misura massima tale che, $AAx inI$,l'errore assoluto che si commette, sostituendo a $f(x)$ il valore $g_1(x)$,o $g_2(x)$, sia maggiore di $1/10^k$(k intero),considerando in particolare il caso $k=2$.
$f(x)=1+sqrt(x^2-2x+5)$,
e si tracci la curva $C$ di equazione $y=f(x)$,verificando la sua simmetria rispetto alla retta $x=1$.
Si determinino in particolare le equazioni $y=g_1(x)$ e $y=g_2(x)$ degli asintoti di $C$.
Si determini sull'asse delle ascisse l'intervallo $I$ di misura massima tale che, $AAx inI$,l'errore assoluto che si commette, sostituendo a $f(x)$ il valore $g_1(x)$,o $g_2(x)$, sia maggiore di $1/10^k$(k intero),considerando in particolare il caso $k=2$.
Risposte
"ENEA84":
Si studi la funzione:
$f(x)=1+sqrt(x^2-2x+5)$,
e si tracci la curva $C$ di equazione $y=f(x)$,verificando la sua simmetria rispetto alla retta $x=1$.
Si determinino in particolare le equazioni $y=g_1(x)$ e $y=g_2(x)$ degli asintoti di $C$.
Si determini sull'asse delle ascisse l'intervallo $I$ di misura massima tale che, $AAx inI$,l'errore assoluto che si commette, sostituendo a $f(x)$ il valore $g_1(x)$,o $g_2(x)$, sia maggiore di $1/10^k$(k intero),considerando in particolare il caso $k=2$.
1) Tale funzione ha come dominio tutto R, non interseca mai l'assex, interseca l'asse y in (0,1+sqrt(5)). E' sempre positiva (somma di una quantita positiva e pari a 1 e di un'altra quantità , la radice, che nel suo dominio, R in tal caso, è sempre positiva), non ha asintoti orizzontali e verticali, e presenta due asintoti obliqui di equazione y=x ed y=-x. Lo studio della derivata ci permette di indetificare un minimo in (1,3). Inoltre la curva non ha flessi.
La verifica della simmetria la si può derivare dal grafico. Consideriamo ora un metodo analitico.
Sia F(x,y)=0 l'equazione della curva in forma implicita. Nel nostro caso F(x,y)=y-1-sqrt(x^2-2x+5). La retta x=k in generale è asse di simmetria se è verificata l'identità:
F(x,y)=F(2k-x,y). Nel nostro caso deve verificarsi che: F(x,y)=F(2-x,y)
F(2-x,y)=y-1-sqrt[(2-x)^2-2*(2-x)+5]=y-1-sqrt(x^2-4x+4-4+2x+5)=y-1-sqrt(x^2-2x+5)=F(x,y) c.v.d
2) Calcolo equazione asintoti obliqui: y=mx+q
m=lim(x->+oo)f(x)/x
Ora f(x) possiamo scriverla così: f(x)=sqrt(x^2)*sqrt(1-2/x+5/x^2)=|x|*sqrt(1-2/x+5/x^2)
Ora se x->+oo |x|=x per cui
m=lim(x->+oo)(1+x*sqrt(1-2/x+5/x^2))/x=1
Se x->-oo |x|=-x ed m=-1
q=lim(x->+oo)f(x)-mx=lim(x->+oo)(1+sqrt(x^2-2x+5)-x)=lim(x->+oo)(1-x+sqrt(x^2-2x+5))=
lim(x->+oo)[(1-x)^2-(x^2-2x+5)]/[1-x-sqrt(x^2-2x+5)]=0 (ho razionalizzato)
Analogamente per x->-oo.
Qiundi g_1(x)=x e g_2(x)=-x
3) spiegami cosa intendi per errore assoluto, il valore assoluto dello scarto tra f(x) e l'asintoto?
"nicasamarciano":
1) Tale funzione ha come dominio tutto R, non interseca mai l'assex, interseca l'asse y in $(0,1+sqrt(5))$. E' sempre positiva (somma di una quantita positiva e pari a 1 e di un'altra quantità , la radice, che nel suo dominio, R in tal caso, è sempre positiva), non ha asintoti orizzontali e verticali, e presenta due asintoti obliqui di equazione $y=x$ ed $y=-x$. Lo studio della derivata ci permette di indetificare un minimo in $(1,3)$. Inoltre la curva non ha flessi.
La verifica della simmetria la si può derivare dal grafico. Consideriamo ora un metodo analitico.
Sia $F(x,y)=0$ l'equazione della curva in forma implicita. Nel nostro caso $F(x,y)=y-1-sqrt(x^2-2x+5)$. La retta $x=k$ in generale è asse di simmetria se è verificata l'identità:
$F(x,y)=F(2k-x,y)$. Nel nostro caso deve verificarsi che: $F(x,y)=F(2-x,y)$
$F(2-x,y)=y-1-sqrt[(2-x)^2-2*(2-x)+5]=y-1-sqrt(x^2-4x+4-4+2x+5)=y-1-sqrt(x^2-2x+5)=F(x,y)$ c.v.d
2) Calcolo equazione asintoti obliqui: $y=mx+q$
$m=lim_(x->+oo)f(x)/x$
Ora f(x) possiamo scriverla così: $f(x)=sqrt(x^2)*sqrt(1-2/x+5/x^2)=|x|*sqrt(1-2/x+5/x^2)$
Ora se $x->+oo |x|=x$ per cui
$m=lim_(x->+oo)(1+x*sqrt(1-2/x+5/x^2))/x=1$
Se $x->-oo |x|=-x$ ed $m=-1$
$q=lim_(x->+oo)f(x)-mx=lim_(x->+oo)(1+sqrt(x^2-2x+5)-x)=lim_(x->+oo)(1-x+sqrt(x^2-2x+5))=lim_(x->+oo)[(1-x)^2-(x^2-2x+5)]/[1-x-sqrt(x^2-2x+5)]=0$
Analogamente per $x->-oo$.
Qiundi $g_1(x)=x$ e $g_2(x)=-x$
3) spiegami cosa intendi per errore assoluto, il valore assoluto dello scarto tra f(x) e l'asintoto?
1) Da dove hai preso questo procedimento?
è interessante ma non so se al liceo lo facciano......c'è un metodo "da liceo"?
2)ok
3)si
è interessante ma non so se al liceo lo facciano......c'è un metodo "da liceo"?
2)ok
3)si
"ENEA84":
1) Da dove hai preso questo procedimento?
è interessante ma non so se al liceo lo facciano......c'è un metodo "da liceo"?
2)ok
3)si
1) Credo ti riferisca alla dimostrazione dell'asse di simmetria. Te lo pongo in un'altro modo senza far riferimento alla funzione implicita, che è "da liceo".
Se x=k è asse di simmetria questo significa che ad ogni punto P=(x,f(x)) corrisponde un punto P1=(2k-x,f(x)), cioè corrisponde un punto che si trovi equidistante dall'asse di simmetria. Quindi per verificare la simmetria bisognerebbe verificare che
f(2k-x)=f(x)
IL secondo asintoto e' y=-x+2
karl
karl
"ENEA84":
1) Da dove hai preso questo procedimento?
è interessante ma non so se al liceo lo facciano......c'è un metodo "da liceo"?
allora forse era meglio postare in un'altra sezione del forum?
"nicasamarciano":
Consideriamo ora un metodo analitico.
Sia F(x,y)=0 l'equazione della curva in forma implicita. Nel nostro caso F(x,y)=y-1-sqrt(x^2-2x+5). La retta x=k in generale è asse di simmetria se è verificata l'identità:
F(x,y)=F(2k-x,y). Nel nostro caso deve verificarsi che: F(x,y)=F(2-x,y)
F(2-x,y)=y-1-sqrt[(2-x)^2-2*(2-x)+5]=y-1-sqrt(x^2-4x+4-4+2x+5)=y-1-sqrt(x^2-2x+5)=F(x,y) c.v.d
Visto che la procedura indicata da nicasamarciano è interessante (si poteva fare altrimenti, senza tirare in ballo "curve descritte implicitamente", come nicasamarciano fa, in un post successivo) aggiungerei due cose alla procedura indicata (precisazione e generalizzazione).
Data $F:A \rightarrow RR$, con $A$ sottoinsieme non vuoto di $RR$, consideriamo l'insieme $Z$ dei punti $(x,y)$ di $A$ individuati dalla condizione $F(x,y)=0$ (non è altro che l'insieme di livello $0$ per $F$; non è detto che sia una "curva" (non ho fatto nessuna ipotesi di regolarità sulla funzione $F$!)).
Detto questo, ricordo che un insieme $Z$ è simmetrico rispetto alla retta $x=k$ (considerazioni del tutto analoghe per una retta $y=h$) se:
$AA (x,y) \in Z$, $(2k-x,y) \in Z$
Ora, questa condizione su $Z$ non è altro che la condizione di simmetria di un sottoinsieme rispetto ad una retta del tipo sopra indicato. Che $Z$ sia il luogo degli zeri di $F$ è irrilevante.
Naturalmente, se $Z$ è definito per l'appunto come luogo degli zeri di $F$, si dovrà verificare che:
$AA (x,y) \in A$ t.c. $F(x,y)=0$, $(2k-x,y) \in A$ e $F(2k-x,y)=0 \ \ \ $ (1)
Naturalmente, se so che:
$AA (x,y) \in A$, $(2k-x,y) \in A$ e $F(x,y)=F(2k-x,y)$,
ottengo "a maggior ragione" che vale la (1). Questa è la procedura indicata da nicasamarciano.
- precisazione: occorre garantire che $(2k-x,y) \in A$ (questo è scontato nel caso studiato da nicasamarciano, ma in generale non è garantito)
- generalizzazione: come detto, il metodo si applica senza dover imporre alcuna condizione di regolarità su $F$ (continuità, derivabilità e ammennicoli vari di questo genere), per cui non si è neanche tenuti a spiegare in "tribunale" cosa si intenda per "curva" (cosa che per una "curva" descritta in forma implicita può essere un po' pesante da fare)
s.e.o., data l'ora...
buona alba a tutti
"karl":
IL secondo asintoto e' y=-x+2
karl
giusto, pardon per la fretta
In tal caso q=lim(x->-oo)[(1+x)^2-(x^2-2x+5)]/[1+x-sqrt(x^2-2x+5)]=
lim(x->-oo)(4x-4)/[1+x-|x|sqrt(1-2/x+5/x^2)]
Per x->-oo |x|=-x da cui
q=lim(x->-oo)(4x-4)/[1+x+x*sqrt(1-2/x+5/x^2)]=2
Tuttavia c'era da aspettarselo; ci si poteva arrivare anche sfruttando la simmetria: se la funzione è simmetrica rispetto ad x=k, allora ad un punto (x,y) corrisponde un punto (2k-x,y).
Quindi a partire dall'asintoto y=x, poichè la simmetria è rispetto alla retta x=k=1, allora l'altro asintoto era per forza
y=2k-x=2-x
Senza tirare in ballo le "curve" in forma implicita la strada alternativa l'ho data in un altro post:
Sia x=k l'eventuale asse di simmetria per la curva di equazione y=f(x). Per verificare che lo sia basta verificare che
f(x)=f(2k-x). Da ciò si deduce che una funzione simmetrica rispetto all'asse delle y e cioè rispetto alla retta x=0 , è una funzione pari perchè f(x)=f(-x). Un esempio è la parabola y=a*x^2.
Se abbiamo una curva di equazione del tipo x=g(y) per verificare che y=h è asse di simmetria basta verificare analogamente che
g(y)=g(2h-y)
In generale per verificare che un punto (alfa,beta) è centro di simmetria per una curva di equazione y=f(x) basta verificare l'identità:
f(x)+f(2*alfa-x)=2*beta.
Infatti prendiamo due punti: P=(x,y) e P1=(x1,y1). Dire che S=(alfa, beta) è centro di simmetria, significa che è il punto medio del segmento congiungente P e P1, cioè
alfa=(x+x1)/2 e beta=(y+y1)/2
Ora y1=f(x1); ma x1=2*alfa-x sfruttando che alfa=(x+x1)/2; per cui y1=f(x1)=f(2*alfa-x).
Da beta=(y+y1)/2, si ricava che y+y1=2*beta a quindi f(x)+f(2*alfa-x)=2*beta c.v.d
Si può far vedere facilmente che il centro di simmetria per una cubica è il punto di flesso e che il centro di simmetria per una funzione razionale fratta (omografica) y=(ax+b)/(cx+d) è l'intersezione dei due asintoti x=-d/c e y=a/c.
Analogamente se si vuole dimostrare che un punto (alfa, beta) è centro di simmetria per due curve di equazioni
f(x) e g(x) basta verificare l'identità f(x)+g(2*alfa-x)=2*beta
Sia x=k l'eventuale asse di simmetria per la curva di equazione y=f(x). Per verificare che lo sia basta verificare che
f(x)=f(2k-x). Da ciò si deduce che una funzione simmetrica rispetto all'asse delle y e cioè rispetto alla retta x=0 , è una funzione pari perchè f(x)=f(-x). Un esempio è la parabola y=a*x^2.
Se abbiamo una curva di equazione del tipo x=g(y) per verificare che y=h è asse di simmetria basta verificare analogamente che
g(y)=g(2h-y)
In generale per verificare che un punto (alfa,beta) è centro di simmetria per una curva di equazione y=f(x) basta verificare l'identità:
f(x)+f(2*alfa-x)=2*beta.
Infatti prendiamo due punti: P=(x,y) e P1=(x1,y1). Dire che S=(alfa, beta) è centro di simmetria, significa che è il punto medio del segmento congiungente P e P1, cioè
alfa=(x+x1)/2 e beta=(y+y1)/2
Ora y1=f(x1); ma x1=2*alfa-x sfruttando che alfa=(x+x1)/2; per cui y1=f(x1)=f(2*alfa-x).
Da beta=(y+y1)/2, si ricava che y+y1=2*beta a quindi f(x)+f(2*alfa-x)=2*beta c.v.d
Si può far vedere facilmente che il centro di simmetria per una cubica è il punto di flesso e che il centro di simmetria per una funzione razionale fratta (omografica) y=(ax+b)/(cx+d) è l'intersezione dei due asintoti x=-d/c e y=a/c.
Analogamente se si vuole dimostrare che un punto (alfa, beta) è centro di simmetria per due curve di equazioni
f(x) e g(x) basta verificare l'identità f(x)+g(2*alfa-x)=2*beta
"ENEA84":
1) Da dove hai preso questo procedimento?
è interessante ma non so se al liceo lo facciano......c'è un metodo "da liceo"?
Veramente a me sembra proprio un metodo da "liceo".
un metodo da liceo?non credo di averlo mai visto nel mio libro...anzi sono sicuro che non c'è
il terzo punto non lo sa risolvere nessuno?
il terzo punto non lo sa risolvere nessuno?
"ENEA84":
un metodo da liceo?non credo di averlo mai visto nel mio libro...anzi sono sicuro che non c'è
il terzo punto non lo sa risolvere nessuno?
Nel mio c'è.
Qual è il tuo libro di liceo?
Dodero-Baroncini
Il mio era lo zwirner e proprio adesso ho trovato l'argomento,anche se trattato senza funzioni implicite
Il dodero ce l'ha mia sorella.....l'ho trovato....quarto capitolo ma non mi sembra,almeno a prima vista,che ci sia il metodo illustrato da nicasamarciano
Il dodero ce l'ha mia sorella.....l'ho trovato....quarto capitolo ma non mi sembra,almeno a prima vista,che ci sia il metodo illustrato da nicasamarciano
"nicasamarciano":
Senza tirare in ballo le "curve" in forma implicita la strada alternativa l'ho data in un altro post:
Sia x=k l'eventuale asse di simmetria per la curva di equazione y=f(x). Per verificare che lo sia basta verificare che
f(x)=f(2k-x). Da ciò si deduce che una funzione simmetrica rispetto all'asse delle y e cioè rispetto alla retta x=0 , è una funzione pari perchè f(x)=f(-x). Un esempio è la parabola y=a*x^2.
Se abbiamo una curva di equazione del tipo x=g(y) per verificare che y=h è asse di simmetria basta verificare analogamente che
g(y)=g(2h-y)
In generale per verificare che un punto (alfa,beta) è centro di simmetria per una curva di equazione y=f(x) basta verificare l'identità:
f(x)+f(2*alfa-x)=2*beta.
Infatti prendiamo due punti: P=(x,y) e P1=(x1,y1). Dire che S=(alfa, beta) è centro di simmetria, significa che è il punto medio del segmento congiungente P e P1, cioè
alfa=(x+x1)/2 e beta=(y+y1)/2
Ora y1=f(x1); ma x1=2*alfa-x sfruttando che alfa=(x+x1)/2; per cui y1=f(x1)=f(2*alfa-x).
Da beta=(y+y1)/2, si ricava che y+y1=2*beta a quindi f(x)+f(2*alfa-x)=2*beta c.v.d
Si può far vedere facilmente che il centro di simmetria per una cubica è il punto di flesso e che il centro di simmetria per una funzione razionale fratta (omografica) y=(ax+b)/(cx+d) è l'intersezione dei due asintoti x=-d/c e y=a/c.
Analogamente se si vuole dimostrare che un punto (alfa, beta) è centro di simmetria per due curve di equazioni
f(x) e g(x) basta verificare l'identità f(x)+g(2*alfa-x)=2*beta
Metodo alternativo alle funzioni implicite (in realtà è lo stesso).
ok nica....volevo solo vedere se il tuo metodo si trovava nei libri di liceo a mia disposizione....tu da dove l'hai preso?
Ti dico la verità: non l'ho preso da alcun libro perchè al liceo ho usato un libro che faceva pena e non conteneva alcun metodo, anzi dava solo qualche definizione di funzione pari o dispari. Tale metodo l'ho ricavato una volta in base a delle considerazioni banali sulla simmetria e poi ho visto su internet un documento che lo spiegava pari pari e mi sono convinto che andava bene.
L'importante è che tu abbia capito quanto da me detto nei post sulle simmetrie anche senza considerare le funzioni implicite.
Se non hai capito fammi sapere che cerkerò di spiegarmi meglio.
L'importante è che tu abbia capito quanto da me detto nei post sulle simmetrie anche senza considerare le funzioni implicite.
Se non hai capito fammi sapere che cerkerò di spiegarmi meglio.
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