Problema 3 test SISSA 2005

[Giso1]

Buongiorno! Sto facendo i test SISSA degli anni passati, e mi sono imbattuto nel seguente:

Si consideri la curva piana C espressa in coordinate polari dall'equazione $r = 1 +cos\theta$, i.e. una cardioide.
Trovare i punti di massimo e di minimo (relativi e assoluti) vincolati su C della funzione $f(x,y)=max{x,y}$.

L'ho risolto in maniera un po' contosa, volevo sapere se ci fosse una strategia più furba e diretta, in particolare ho seguito questo procedimento

I punti della curva C sono del tipo $((1 +cos\theta)cos\theta,(1 +cos\theta)sin\theta)$, la funzione $max{x,y}$ può essere riscritta come $max{x,y} = \frac{x+y+ |x-y|}{2}$.
Posso allora considerare la funzione
$g(\theta)= \frac{(1 +cos\theta)cos\theta+(1 +cos\theta)sin\theta+ |(1 +cos\theta)cos\theta-(1 +cos\theta)sin\theta|}{2}$ e studiarne la derivata.

Mi pare che funzioni, ma come detto c'è da scribacchiare un po'.. Qualcuno ha altre idee?

[gugo82]

Beh, dato che:
\[
f(x,y) = \begin{cases} x &\text{, sotto la bisettrice I-III}\\
y &\text{, sopra la bisettrice I-III}
\end{cases}
\]
si tratta di trovare gli estremi di:
\[
x(\theta) = (1+\cos \theta)\ \cos \theta
\]
per \(\theta \in [-3/4\pi , \pi/4]\) e di confrontarli con gli estremi di:
\[
y(\theta) = (1+\cos \theta)\ \sin \theta
\]
per \(\theta \in [3/4\pi , \pi/4]\).
Ti pare?

[Giso1]

Ecco, questa è decisamente una maniera più furba
Grazie mille!