[Probabilità] Processo di Poisson

[Chebyshev]

Buonasera a tutti.

Oggi ho sostenuto l'esame scritto di Statistica.
Sembrerà assurdo, sono riuscito a risolvere, anche in breve tempo e con semplicità, esercizi più complessi quali quelli sugli intervalli di confidenza, test di ipotesi, processi stocastici puntuali...e dove mi blocco?
Su un esercizio all'apparenza di semplice risoluzione ma che mi ha messo tanti dubbi e che ho risolto, anche se credo in maniera errata.

[Studente Anonimo]

Dunque, se un certo evento (successo) viene generato casualmente in una data unità di tempo (o di spazio) da un processo di Poisson, allora la variabile casuale continua, tempo (o spazio) intercorrente tra il verificarsi di due eventi successivi, si distribuisce in modo esponenziale. Inoltre, se

[math]\lambda[/math]

è il tasso medio con cui si verifica l'evento in una data unità, allora

[math]1/\lambda[/math]

è il tempo medio (o distanza media) tra due eventi successivi.


Nel caso specifico, possiamo assumere in maniera ragionevole che il numero di terremoti
di magnitudo maggiore a sei segua una distribuzione di Poisson con

[math]\lambda = 0.08\frac{terr}{anno}\\[/math]

.

Come per ogni altra distribuzione di probabilità continua, l'area sotto la curva esponenziale
(in questo caso da

[math]0[/math]

a

[math]+\infty[/math]

) è

[math]1.0[/math]

. Così

[math]P(X > x) = 1 - P(X \le x)\\[/math]

.

In particolare abbiamo

[math]P(X > 10) = 1 - \left(1-e^{-(0.08)(10)}\right) \approx 0.45[/math]

. Possiamo
dunque concludere che la probabilità che il prossimo terremoto di magnitudo maggiore a
sei si verifichi tra più di dieci anni sia circa pari al

[math]45\%[/math]

. :)