Probabilità
Siano X e Y variabili aleatorie e sia f(x,y) la distribuzione congiunta.
Consideriamo le seguenti f:determinare quali sono autentiche distribuzioni di
probabilità congiunte sui domini assegnati,calcolate il fattore c di normalizzazione ed infine dite se le variabili X ed Y sono indipendenti o meno.
a)f(x,y)=c sinx cosy su [0,pigreco/2] x [0,pigreco/2]
b)f(x,y)=c (x^2+y^3-1) su [0,1]x[0,1]
c)f(x,y)=c (x^2y+xy^2) su [-1,1] x [-1,1]
d)f(x,y)=ce^-(x^2+y^2) su [0,infinito] x [0,infinito]
e)f(x,y)=c (x^2y+xy^2) su [0,infinito] x [0,infinito]
Consideriamo le seguenti f:determinare quali sono autentiche distribuzioni di
probabilità congiunte sui domini assegnati,calcolate il fattore c di normalizzazione ed infine dite se le variabili X ed Y sono indipendenti o meno.
a)f(x,y)=c sinx cosy su [0,pigreco/2] x [0,pigreco/2]
b)f(x,y)=c (x^2+y^3-1) su [0,1]x[0,1]
c)f(x,y)=c (x^2y+xy^2) su [-1,1] x [-1,1]
d)f(x,y)=ce^-(x^2+y^2) su [0,infinito] x [0,infinito]
e)f(x,y)=c (x^2y+xy^2) su [0,infinito] x [0,infinito]
Risposte
sia f(x,y) definita in I x J
condizione necessaria affinchè f(x,y) rappresenti una funzione densità di prob. è che non sia negativa
nel caso tuo siccome c può assumere qualsiasi segno,considera f(x,y)/c;se non cambia segno nel dominio puoi passare al secondo punto imponendo che l'integrale doppio di f(x,y) calcolato sul dominio sia uguale ad 1(prob. evento certo):in questo modo ricavi la c
3° punto
h(x)= integrale di f(x,y) calcolato in J rappresenta la densità di prob. marginale della X
analogo significato ha g(y)=integrale di f(x,y) calcolato in I
X ed Y indipendenti se,e solo se,f(x,y)=h(x)*g(y)
condizione necessaria affinchè f(x,y) rappresenti una funzione densità di prob. è che non sia negativa
nel caso tuo siccome c può assumere qualsiasi segno,considera f(x,y)/c;se non cambia segno nel dominio puoi passare al secondo punto imponendo che l'integrale doppio di f(x,y) calcolato sul dominio sia uguale ad 1(prob. evento certo):in questo modo ricavi la c
3° punto
h(x)= integrale di f(x,y) calcolato in J rappresenta la densità di prob. marginale della X
analogo significato ha g(y)=integrale di f(x,y) calcolato in I
X ed Y indipendenti se,e solo se,f(x,y)=h(x)*g(y)
quindi ad esempio prendiamo il caso a),il dominio è lo stesso anche con sinxcosy/c in quanto si annulla in zero ed è positivo altrove,l'integrale doppio normalizzato ad 1 ci da che c=1,ed avremo le variabili X e Y non sono indipendenti perchè h(x)*g(y) è uguale -c cosy senx.
è corretto?
è corretto?
sono d'accordo sui primi 2 punti
a dire il vero nel terzo punto mi viene h(x)*g(y)=c^2senxcosy e quindi tenendo conto che c=1 ho che X ed Y sono indipendenti
a dire il vero nel terzo punto mi viene h(x)*g(y)=c^2senxcosy e quindi tenendo conto che c=1 ho che X ed Y sono indipendenti
Io ti consiglio di fare in questo modo:
Deve essere f(x, y) > 0 sul dominio considerato e l'integrale doppio calcolato sul dominio = 1. Da questa condizione si può ricavare la costante c. Le variabili sono indipendenti se F(x, y) = F(x)F(y). Si consiglia di usare Maxima, Scilab o Microsoft Mathematics per il calcolo in modo da impratichirsi con questi applicativi.
Deve essere f(x, y) > 0 sul dominio considerato e l'integrale doppio calcolato sul dominio = 1. Da questa condizione si può ricavare la costante c. Le variabili sono indipendenti se F(x, y) = F(x)F(y). Si consiglia di usare Maxima, Scilab o Microsoft Mathematics per il calcolo in modo da impratichirsi con questi applicativi.
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