[Prob. di Couchy ]Molteplicità
Non ho ben capito la connessione che intercorre tra la molteplicità e la soluzione particolare da ricercare, nei problemi di couchy.
Mi date una mano?
Mi date una mano?
Risposte
Intendi la ricerca delle soluzioni particolari di una equazione lineare non omogenea?
La questione in questo caso e' abbastanza semplice:
Se hai un'equazione del tipo D(y)=g(x)
Dove D e' un polinomio "operatoriale" (e' il poli caratteristico cui al posto di y^n si sostituisce l'operatore di derivata n-sima).
La soluzione particolare ha una certa forma h(x) se certe costanti di g non sono soluzioni di P(y)=0 dove P e' il polinomio caratteristico oppure una forma s_m(x) se queste hanno molteplicita' m (in genere si moltiplica h per x^m).
Questo si fa perche' se queste costanti (quali siano dipende dalla forma di g) sono radici di P(x) accade che:
D(h(x)) = 0 != g(x)
Invece si vuole fare in modo da avere D(s_m(x)) = g(x). s_m(x) e' allora semplicemente una versione "tarocca" di h(x) modificata in modo da non annullarsi quando gli si applica D.
La questione in questo caso e' abbastanza semplice:
Se hai un'equazione del tipo D(y)=g(x)
Dove D e' un polinomio "operatoriale" (e' il poli caratteristico cui al posto di y^n si sostituisce l'operatore di derivata n-sima).
La soluzione particolare ha una certa forma h(x) se certe costanti di g non sono soluzioni di P(y)=0 dove P e' il polinomio caratteristico oppure una forma s_m(x) se queste hanno molteplicita' m (in genere si moltiplica h per x^m).
Questo si fa perche' se queste costanti (quali siano dipende dalla forma di g) sono radici di P(x) accade che:
D(h(x)) = 0 != g(x)
Invece si vuole fare in modo da avere D(s_m(x)) = g(x). s_m(x) e' allora semplicemente una versione "tarocca" di h(x) modificata in modo da non annullarsi quando gli si applica D.
mi fai un esempio esemplificatico delle varie forme?
Ad esempio il fenomeno della risonanza:
Un oscillatore (non smorzato) ha una equazione del tipo:
y'' + w^2 y = f
La soluzione dell'omogenea e': y(t)=C_1 cos (w t) + C_2 sin (w t)
Se la f e' un sin(lt) allora la soluzione particolare sara' nella forma Q sin (lt) + H cos (lt) con Q e H da determinarsi a meno che l non sia uguale a w in quel caso il sistema va' in risonanza e la soluzione particolare e' nella forma:
t Q sin( w t) + t H cos( w t )
Una soluzione che produce oscillazioni di dimensioni sempre maggiori...
Poi esistono sui libri molti esempi di funzioni cui associare l'integrale particolare nelle eq. lineari e, spesso, si chiede di controllare se certe costanti sono e con che molteplicita' soluzioni del polinomio caratteristico...
Non ho capito pero' se e' questo quello che chiedevi o se ti riferivi a qualcosa d'altro...
Un oscillatore (non smorzato) ha una equazione del tipo:
y'' + w^2 y = f
La soluzione dell'omogenea e': y(t)=C_1 cos (w t) + C_2 sin (w t)
Se la f e' un sin(lt) allora la soluzione particolare sara' nella forma Q sin (lt) + H cos (lt) con Q e H da determinarsi a meno che l non sia uguale a w in quel caso il sistema va' in risonanza e la soluzione particolare e' nella forma:
t Q sin( w t) + t H cos( w t )
Una soluzione che produce oscillazioni di dimensioni sempre maggiori...
Poi esistono sui libri molti esempi di funzioni cui associare l'integrale particolare nelle eq. lineari e, spesso, si chiede di controllare se certe costanti sono e con che molteplicita' soluzioni del polinomio caratteristico...
Non ho capito pero' se e' questo quello che chiedevi o se ti riferivi a qualcosa d'altro...
ho per esempio queste equazioni: y'' -2y'+2y=e^(2x) y(x)=C1cos (x)e^x + C2 sen(x)e^x
ho che la soluzione particolare è e^(2x)*K. perchè?
altro esempio: y''-y=x*e^x ---> y(x)=C1 e^(x)+C2 e^(-x)
la soluzione particolare è y= (x*e^(x))*(ax+b). come mai?
y''-2y'-3y=8e^(3x) y(x)=C1 e^(-x)+C2 e^(3x) la sol. part. è a*x e^(3x). come fa a venire così?
insoma come faccio a determinare quale equazione è giusta per il particolar caso.
p.s. la ridondanza non l'ho mai sentita quindi credo, che con questo ci siamo un pò allontanati: se poi si chiama così non lo sapevo
ho che la soluzione particolare è e^(2x)*K. perchè?
altro esempio: y''-y=x*e^x ---> y(x)=C1 e^(x)+C2 e^(-x)
la soluzione particolare è y= (x*e^(x))*(ax+b). come mai?
y''-2y'-3y=8e^(3x) y(x)=C1 e^(-x)+C2 e^(3x) la sol. part. è a*x e^(3x). come fa a venire così?
insoma come faccio a determinare quale equazione è giusta per il particolar caso.
p.s. la ridondanza non l'ho mai sentita quindi credo, che con questo ci siamo un pò allontanati: se poi si chiama così non lo sapevo
Beh la risonanza e' un'applicazione fisica su un caso dal punto di vista dei conti banale della teoria.
Nel caso il termine "in piu'" u sia una esponenziale:
u(x) = Q(x) e^(a x) dove Q e' un polinomio.
L'integrale particolare e' della forma:
x^k Q e^(a x)
Se k e' la molteplicita di a come soluzione del polinomio caratteristico. (k=0 se a non e' uno zero).
Nel caso di funzione u diversa da questa, se vuoi utilizzare il criterio di "somiglianza", devi andare su qualche libro a studiare la "casistica" delle funzioni ovvero quale integrale particolare associare ad ognuna di loro a seconda degli zeri del polinomio caratteristico...
Nel caso il termine "in piu'" u sia una esponenziale:
u(x) = Q(x) e^(a x) dove Q e' un polinomio.
L'integrale particolare e' della forma:
x^k Q e^(a x)
Se k e' la molteplicita di a come soluzione del polinomio caratteristico. (k=0 se a non e' uno zero).
Nel caso di funzione u diversa da questa, se vuoi utilizzare il criterio di "somiglianza", devi andare su qualche libro a studiare la "casistica" delle funzioni ovvero quale integrale particolare associare ad ognuna di loro a seconda degli zeri del polinomio caratteristico...
non è che lo capita benissimo....
qualcuno ha esempi esemplificativi?
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