Principio induzione

[Andrea0707]

Principio induzione
ricavare la formula per la somma dei primi n numeri pari usando principio di induzione.
Grazie

[laura.gigliarano]

Il principio d'induzione consiste nei seguenti due passi:
1) passo iniziale: dimostrare la validità della tesi per il più piccolo n per cui vale;
2) passo induttivo: dimostrare la validità della tesi per il passo n-esimo, supponendo che sia vera per il passo (n-1)-esimo.
Tale principio, più che per ricavare formule, per il quale si utilizzano altri strumenti matematici, è utile per dimostrare la validità della formula trovata per ogni naturale. Si presuppone quindi che la formula sia data o che si possa partire da altre formule note per ricavarla. Nel tuo caso, se la formula che cerchi non fosse già data, io partirei dalla formula di Gauss per la somma dei primi n numeri naturali:

[math] 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2} \forall n \in \mathbb{N}[/math]

La validità di tale formula si dimostra per induzione. Per ottenere la tua formula, siccome per avere i primi n numeri naturali pari ti basta moltiplicare x2 tutti i numeri naturali da 1 a n (ad esempio, per ottenere i primi 5 numeri naturali 2,4,6,8,10 ti basta moltiplicare x2 i numeri 1,2,3,4,5), per calcolare la somma dei primi n numeri naturali pari ti basta moltiplicare x2 la somma dei numeri naturali da 1 a n (stiamo sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto l'addizione, ovvero 1x2+2x2+..+nx2 = 2x(1+2+..n)). Perciò, sfruttando la formula di Gauss sopra, si ha:

[math] 2+4+...+2n = 2(1+2+...+n) = 2\frac{n(n+1)}{2}= n(n+1)[/math]

Ora, per dimostrare che questa formula vale per ogni n naturale:
1) passo iniziale, n = 1: il primo numero naturale pari è 2, perciò vogliamo che 2 = 1*(1+1) : vero;
2) passo induttivo: la somma dei primi n numeri naturali pari è

[math] 2n+2(n-1)+...+2 = 2n+[2(n-1)+...+2] = 2n + (n-1)n = n(2+n-1) = n(n+1)[/math]

dove: nel primo passaggio abbiamo evidenziato come utilizzare il passo induttivo, nel secondo passaggio l'abbiamo utilizzato (noi ipotizziamo che per i primi n-1 naturali la formula è vera), nel terzo abbiamo usato la proprietà distributiva e nel quarto abbiamo svolto le somme nelle parentesi.


Per dimostrare invece la formula di Gauss, procediamo in modo analogo
1) passo iniziale, n = 1: il primo numero naturale è 1, perciò vogliamo dimostrare che 1 = [1*(1+1)]/2 : vero;
2) passo induttivo: la somma dei primi n numeri naturali è

[math]n+(n-1)+..+1 = n+[(n-1)+...+1] = n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{2n + n(n-1)}{2} = \frac{n(2+n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}[/math]

dove: nel primo passaggio abbiamo utilizzato come evidenziare il passo induttivo, nel secondo l'abbiamo utilizzato e dal terzo fino all'ultimo abbiamo svolto tutti i calcoli per ottenere la scrittura finale della formula.