Principio di sostituzione degli infinitesimi e infiniti

[CasellaJr]

Salve ragazzi, mi trovo in difficoltà con il principio di sostituzione degli infinitesimi. Cioè riesco a intuire il risultato però il procedimento che faccio è sbagliato o diverso da quello del libro, che non riesco a capire.
Ad es.
$ lim_(x -> 0)(root(5)((1+x^3))-root(3) (1+x^5))/(sen^2root(3)x ln(1+x^2) $
Dice "Utilizzando gli sviluppi asintotici si ha $ (1+x^3/5+o(x^3)-(1+x^5/3+o(x^5)))/((root(3)x+o(root(3)x))^2(x^2+o(x^2)) $ = $ (x^3/5 +o(x^3))/(x^(8/3)(1+(o(root(3)x))/root(3)x)(1+(o(x^2))/x^2) $ e quindi f(x)->0

Io sinceramente non capisco come fa a calcolare tutto ciò...
Avrei anche altri esempi che non so fare però spero di riuscire a capire questo e poi provare da solo gli altri, al massimo richiedo aiuto...
Grazie

[cooper1]

non fa niente di speciale. usa solo la teoria degli o-piccolo che non è nient'altro che uno sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine. in particolare ha usato questo fatto:
$ (1+x)^alpha = 1+((alpha),(1))x $ per $x->0$, dove $((alpha),(1)) $ è il coefficiente binomiale, che al primo termine è esattamente l'esponente. per cui hai $ (1+x)^alpha = 1+alphax $