Principio di induzione
Salve ragà, non riesco a dimostrare questa disuguaglianza:
$3^n n!>=n^n$ per ogni $ninNN$. Questa è la traccia dell'esercizio, solo che ora già provando a dimostrare per il più piccolo n, quindi 0, la disuguaglianza non è verificata, in quanto risulta $1>=0^0$. Quindi prendiamo $n=1$ e la disuguaglianza è verificata $3>=1$. Posto dunque, vera per n, verifichiamo per $(n+1)$. $3^(n+1) (n+1)!>=(n+1)^(n+1)$. Questa la posso anche riscrivere come $3^n 3(n+1)n!>=(n+1)^n(n+1) => 3^n 3n!>=(n+1)^n$ Ma ora non riesco più a procedere. Mi aiutereste?
$3^n n!>=n^n$ per ogni $ninNN$. Questa è la traccia dell'esercizio, solo che ora già provando a dimostrare per il più piccolo n, quindi 0, la disuguaglianza non è verificata, in quanto risulta $1>=0^0$. Quindi prendiamo $n=1$ e la disuguaglianza è verificata $3>=1$. Posto dunque, vera per n, verifichiamo per $(n+1)$. $3^(n+1) (n+1)!>=(n+1)^(n+1)$. Questa la posso anche riscrivere come $3^n 3(n+1)n!>=(n+1)^n(n+1) => 3^n 3n!>=(n+1)^n$ Ma ora non riesco più a procedere. Mi aiutereste?
Risposte
Un modo potrebbe essere quello di continuare così:
$ 3 3^n n! >= n^n (1+1/n)^n => 3/(1+1/n)^n 3n! >= n^n $.
Se dimostri che $ 3/(1+1/n)^n > 1 $ per ogni $n$ hai finito, capito perchè?
Per farlo potresti sfruttare quello che sai sul numero di Nepero, oppure metterti a smanettare un po', non è così improponibile.
$ 3 3^n n! >= n^n (1+1/n)^n => 3/(1+1/n)^n 3n! >= n^n $.
Se dimostri che $ 3/(1+1/n)^n > 1 $ per ogni $n$ hai finito, capito perchè?
Per farlo potresti sfruttare quello che sai sul numero di Nepero, oppure metterti a smanettare un po', non è così improponibile.
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