Principio di induzione
Buonasera,ho un problema col dimostrare che $sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k-1)=n^2$ con il metodo di induzione,potete avviarmi perfavore?
Io avevo iniziato col porre n=1 quindi avrei ottenuto (2k-1)=n^2----> -1=1 quindi sbaglio in partenza come posso fare?
Grazie per l'attenzione
Io avevo iniziato col porre n=1 quindi avrei ottenuto (2k-1)=n^2----> -1=1 quindi sbaglio in partenza come posso fare?
Grazie per l'attenzione
Risposte
mi sa che nella formula tra 2k e 1 ci va un più non un meno 
sul libro porta -
Mi sembra che ci sia un errore di stampa, come ha già segnalato Kyl. La scrittura corretta è $sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k+1)=n^2$, oppure anche $sum_{k=1}^\(n)\ (2k-1)=n^2$, ed esprime la proprietà che la somma dei primi $n$ numeri dispari è $n^2$.
Poiché $sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k+1) = 1 + 3 + 5 + .... + (2n-1)$, l'enunciato si può riscrivere come $1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n^2$.
Che la proprietà sia vera per $n=1$ è evidente: $1=1^2$.
Per dimostrare che, se la proprietà è vera per $n$, allora lo è ancora per $n+1$, basta aggiungere ad ambedue i membri dell'espressione $1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n^2$ il termine $2n+1$.
In questo modo a primo membro si ottiene la somma dei primi $n+1$ numeri dispari $1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) + (2n+1)$ e a secondo membro $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$. Così si trova che la somma dei primi $n+1$ numeri dispari è il quadrato di $n+1$.
Quindi il teorema è dimostrato.
Poiché $sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k+1) = 1 + 3 + 5 + .... + (2n-1)$, l'enunciato si può riscrivere come $1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n^2$.
Che la proprietà sia vera per $n=1$ è evidente: $1=1^2$.
Per dimostrare che, se la proprietà è vera per $n$, allora lo è ancora per $n+1$, basta aggiungere ad ambedue i membri dell'espressione $1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n^2$ il termine $2n+1$.
In questo modo a primo membro si ottiene la somma dei primi $n+1$ numeri dispari $1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) + (2n+1)$ e a secondo membro $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$. Così si trova che la somma dei primi $n+1$ numeri dispari è il quadrato di $n+1$.
Quindi il teorema è dimostrato.
non riesco a capire prima di tutto se K lo devo porre come k=n,e poi perchè sommo (2n-1) e non (n-2) (n-3) e così via come accada per il caso $sum_{i=1}^\n\ i$ dove poi si aggiungeva (n+1) (n+2) e così via?
$k$ assume i diversi valori da $0$ a $n-1$; in corrispondenza di questi il termine $2k+1$ assume i valori della tabella:
$|( k,\text( ) ,2k+1),(,\text( ) ,),(0 ,\text( ),1),(1,\text( ) ,3),(2 ,\text( ),5),(3,\text( ) ,7),(...,\text( ) ,...),(n-1,\text( ) ,2n-1)|$.
Questi valori di $2k+1$, che sono i primi $n$ numeri dispari, vanno sommati e quindi si ottiene che $sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k+1) = 1 + 3 + 5 + .... + (2n-1)$.
$|( k,\text( ) ,2k+1),(,\text( ) ,),(0 ,\text( ),1),(1,\text( ) ,3),(2 ,\text( ),5),(3,\text( ) ,7),(...,\text( ) ,...),(n-1,\text( ) ,2n-1)|$.
Questi valori di $2k+1$, che sono i primi $n$ numeri dispari, vanno sommati e quindi si ottiene che $sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k+1) = 1 + 3 + 5 + .... + (2n-1)$.
ma perchè dobbiamo vedere se vale anche per (n+1) quando noi stiamo studiando il caso (n-1)?
Non è vero che si stia studiando il caso con $n-1$: la proprietà è che la somma dei primi $n$ numeri dispari è $=n^2$.
La dimostrazione per induzione richiede che
1) si dimostri che questo è vero per $n=1$,
2) ammesso che la proprietà sia vera per un certo $n$, allora lo sia anche per $n+1$.
La dimostrazione per induzione richiede che
1) si dimostri che questo è vero per $n=1$,
2) ammesso che la proprietà sia vera per un certo $n$, allora lo sia anche per $n+1$.
Partendo dall'inizio tu hai sostituito questa scrittura $sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k+1)=n^2$ con $sum_{k=1}^\n\ (2k-1)=n^2$ perchè?come faccio a fare questo passaggio e portarmi il tutto a n?
"the world":
Partendo dall'inizio tu hai sostituito questa scrittura $sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k+1)=n^2$ con $sum_{k=1}^\n\ (2k-1)=n^2$ perchè?come faccio a fare questo passaggio e portarmi il tutto a n?
Se provi a scrivere le due somme, ti accorgi che gli addendi sono uguali ...
$sum_{k=0}^\(n-1)\ (2k+1) = (2*0 + 1) + (2*1 + 1) + (2*2 + 1) + (2*3 + 1) + .... +(2*(n-1) + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ...... + 2n -1$,
$sum_{k=1}^\n\ (2k-1) = (2*1 - 1) + (2*2 - 1) + (2*3 -1) + (2*4 - 1) + ...... + (2*n -1) = 1 + 3 + 5 + 7 + .... 2n -1$.
ma io come faccio a sapere questo? evitando di fare tutti questi passaggi? dopo fatto questo la verifica sarebbe che per n=1 $sum_{k=1}^\n\(2n-1)=n^2$ è 1=1 poi per n+1 sarebbe $sum_{k=1}^\(n+1)\(2n-1)+(n+1)=n^2+(n+1)$ è 3=3,quindi possiamo dire che è verificata.
"the world":
....la verifica sarebbe che per n=1 $sum_{k=1}^\n\(2n-1)=n^2$ è 1=1 poi per n+1 sarebbe $sum_{k=1}^\(n+1)\(2n-1)+(n+1)=n^2+(n+1)$ ....
No, se l'enunciato relativo alla somma dei primi $n$ numeri dispari è $sum_{k=1}^\n\(2k-1)=n^2$, quello relativo alla somma dei primi $n+1$ numeri dispari è $sum_{k=1}^\(n+1)\(2k-1)=(n+1)^2$.
Edit: Corretto errore di scrittura ....
se io devo sostituire (n+1) nella n non uscirà allora $sum_{k=1}^\(n+1)\ (2n+1)=(n+1)^2$?
"the world":
se io devo sostituire (n+1) nella n non uscirà allora $sum_{k=1}^\(n+1)\ (2n+1)=(n+1)^2$?
C'é un poco di confusione con gli indici della sommatoria
. Non ti sembra che scritto in quel modo l'indice $k$ sia superfluo?
ho confusione con tutta la sommatoria
La sommatoria è $sum_{k=1}^\(n+1)\ (2k-1)$ non $sum_{k=1}^\(n+1)\ (2n-1)$, perché altrimenti andresti a sommare sempre lo stesso elemento $(2n-1)$ per $n+1$ volte. Cioè sarebbe, se per esempio $n=3$, $5+5+5+5$.
L'ipotesi è che la somma dei primi $n$ numeri dispari è pari a $n^2$, quindi se si vuole dimostrare la sua validità per $n+1$ ciò che va cambiato nella sommatoria è il termine superiore da $n$ a $n+1$ e non il termine all'interno, perché il $2k-1$ sta ad indicare il k-esimo numero dispari, e si continuano ad avere tutti i numeri dispari che si avevano prima solo con l'aggiunta di uno ulteriore.
L'ipotesi è che la somma dei primi $n$ numeri dispari è pari a $n^2$, quindi se si vuole dimostrare la sua validità per $n+1$ ciò che va cambiato nella sommatoria è il termine superiore da $n$ a $n+1$ e non il termine all'interno, perché il $2k-1$ sta ad indicare il k-esimo numero dispari, e si continuano ad avere tutti i numeri dispari che si avevano prima solo con l'aggiunta di uno ulteriore.
niente non riesco a capire
"the world":
niente non riesco a capire
cos'è esattamente che non ti è chiaro?
il principio di induzione applicato alle sommatorie,non riesco a capire,come devo verificare n+1 e tutti i passaggi che si devono fare
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