Principio di induzione
Vorrei sapere come dimostrare per induzione che:
$\frac{n!}{n^n} <=\frac{1}{n}$
Sono nuovo del forum....se per caso ho sbagliato tread scusatemi ma non sapevo dove metterlo!
Inoltre vorrei chiarire che ho provato e riprovato a fare l'esercizio. Vorrei solo un chiarimento per capire almeno da dove cominciare...
grazie per l'aiuto
$\frac{n!}{n^n} <=\frac{1}{n}$
Sono nuovo del forum....se per caso ho sbagliato tread scusatemi ma non sapevo dove metterlo!
Inoltre vorrei chiarire che ho provato e riprovato a fare l'esercizio. Vorrei solo un chiarimento per capire almeno da dove cominciare...
grazie per l'aiuto
Risposte
La relazione ha senso per $n>=1$.
Quindi...
per $n=1$ si prova facilmente che $1=1$ il che verifica la relazione.
Ora, assumendo vera la diseguaglianza $(n!)/(n^n)<=1/n$ dobbiamo provare che $((n+1)!)/((n+1)^(n+1))<=1/(n+1)$.
Sviluppando:
$(n+1)! = (n+1)*n!$ e $(n+1)^(n+1)=(n+1)^n*(n+1)$ si ottiene:
$((n+1)!)/((n+1)^(n+1))=(n!)/((n+1)^n)$.
Essendo $n>=1$:
$(n!)/((n+1)^n)<=1/((n+1)^n)<=1/(n+1)$.
Quindi...
per $n=1$ si prova facilmente che $1=1$ il che verifica la relazione.
Ora, assumendo vera la diseguaglianza $(n!)/(n^n)<=1/n$ dobbiamo provare che $((n+1)!)/((n+1)^(n+1))<=1/(n+1)$.
Sviluppando:
$(n+1)! = (n+1)*n!$ e $(n+1)^(n+1)=(n+1)^n*(n+1)$ si ottiene:
$((n+1)!)/((n+1)^(n+1))=(n!)/((n+1)^n)$.
Essendo $n>=1$:
$(n!)/((n+1)^n)<=1/((n+1)^n)<=1/(n+1)$.
Allora intanto grazie ma guardando cosa hai fatto tu me l'hai semplicemente semplificata....per fare il principio di induzione c'è una ipotesi induttiva...e da quella si arriva alla tesi...da quello che ho visto hai solo sostituito n+1 con n...
Scusami se polemizzo...ma il dubbio mi rimane...
Scusami se polemizzo...ma il dubbio mi rimane...
L'ipotesi induttiva consiste in questo, dopo aver appurato che la formula è vera per un n finito diciamo per n=2, io assumo vero per ipotesi che la formula sia verificata per n. Quindi passo a verificare che sia vera anche per (n+1). Senza questa ipotesi non avrebbe senso verificare per (n+1). QUindi diciamo che nella dimostrazione che vedi qui sopra l'ipotesi induttiva è quando assume per vera la disuguaglianza per n. ALmeno credo...
Io invece proporrei la seguente strada.
Constatato che per $n=1$ la disuguaglianza è verificata, supponiamo vera la proposizione per un generico $n$ e valutiamola per $n+1$.
Dunque
$((n+1)!)/(n+1)^(n+1)=((n+1)*n!)/((n+1)(n+1)^n)=(n!)/(n+1)^n=(n!)/(n+1)^n*(n^n)/(n^n)=(n^n)/((n+1)^n)*(n!)/n^n<=$(ipotesi induttiva)$(n^n)/((n+1)^n)1/n=1/(1+1/n)^n*1/n<=1/(2n)<=1/(n+1)$ avendo fatto uso della disuguaglianza $(1+1/n)^n>=2$
Constatato che per $n=1$ la disuguaglianza è verificata, supponiamo vera la proposizione per un generico $n$ e valutiamola per $n+1$.
Dunque
$((n+1)!)/(n+1)^(n+1)=((n+1)*n!)/((n+1)(n+1)^n)=(n!)/(n+1)^n=(n!)/(n+1)^n*(n^n)/(n^n)=(n^n)/((n+1)^n)*(n!)/n^n<=$(ipotesi induttiva)$(n^n)/((n+1)^n)1/n=1/(1+1/n)^n*1/n<=1/(2n)<=1/(n+1)$ avendo fatto uso della disuguaglianza $(1+1/n)^n>=2$
Ringrazio deserto e concordo con la sua dimostrazione 
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