Principio di induzione

[Anto0071]

Ciao a tutti, ho svolto la seguente dimostrazione: dimostrare che la somma dei quadrati dei primi n numeri interi positivi n è pari a $ (n(n+1/2)(n+1))/3 $
$ P(n) $ $ 1^2+2^2+3^2+...+n^2= (n(n+1/2)(n+1))/3 $

$ P(1) $ $ 1=(1(1+1/2)(1+1))/3 $
$ 1=(1(3/2)(2))/3 $
$ 1=3/3 $
$ 1=1 $ vera

$ P(n+1) $ $ 1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2= (n(n+1/2)(n+1))/3 $

$ (n(n+1/2)(n+1))/3+(n+1)^2=((n+1)(n+1+1/2)(n+1+1))/3 $
$ (n(n+1/2)(n+1))/3+(n+1)^2=((n+1)(n+3/2)(n+2))/3 $

Quindi
$ (n(n+1/2)(n+1)+3(n+1)^2)/3 $
$ (n+1)(n(n+1/2)(n+1)+3(n+1))/3 $
$ (n+1)(n^2+1/2n+3n+3)/3 $
$ (n+1)(n^2+7/2n+3)/3 $
$ (n+1)(1/2(n+2)(2n+3))/3 $
$ ((n+1)(n+3/2)(n+2))/3 $

É corretto?

[pilloeffe]

Ciao Anto007,

Sì, anche se tipicamente si dimostra nella forma più semplice seguente:

\begin{equation*}
\boxed{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \sum_{k=0}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n (n + 1)(2n + 1)}{6}}
\end{equation*}

[Anto0071]

Si lo so, era un esercizio da svolgere. Grazie mille

[pilloeffe]

"Anto007":Si lo so, era un esercizio da svolgere.

Ah non lo metto in dubbio, ma avrei subito moltiplicato numeratore e denominatore per $2$ prima di partire con la dimostrazione, se non altro per evitare di portarmi appresso tutte quelle frazioni...

"Anto007":Grazie mille

Prego!

[Anto0071]

Si capisco, anche a me tutte quelle frazioni mi hanno mandata un attimino in panico, ma siccome volevo dimostrare esattamente la proposizione data ho deciso di tentare e vedere se ci riuscivo!