Principio di Induzione

[ladyna1]

Ciao, qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi gli ultimi passaggi del primo esercizio sul principio di induzione?
Il file del compito e' questo:
https://hotfile.com/dl/225508232/03790d ... n.pdf.html
Riesco a capire sino all'ipotesi induttiva dove si dimostra per n=j+1 ma dal punto in cui spezza la somma non capisco cosa fa.

Grazie mille!

[Quinzio]

Perchè hanno fatto un errore (di copiatura, di battitura).

$2k-1$ è stato sbagliato e diventa $2k+1$

La versione esatta è:

Spezzando la somma otteniamo:

$\sum_(k=-2)^(j+1)2k-1 = (\sum_(k=-2)^(j)2k-1)+2(j+1)-1$

e utilizzando l'ipotesi induttiva (1) abbiamo:

$(\sum_(k=-2)^(j)2k-1)+2(j+1)-1 = j^2-9+2j+1=j^2+2j-8$

come volevasi dimostrare.

[ladyna1]

Aspetta, al di la' dell'errore, cosa vuol dire spezzando la somma?
Spezza la sommatoria? In che modo? e poi il 2(j+1) da dove lo tira fuori?
Grazie ancora!!

[Quinzio]

Prendiamo un'altra nota sommatoria, più semplice e forse più comprensibile:

$\sum_(n=1)^j\ n$

Quella somma è uguale a $(j(j+1))/2$.

Ma noi non ci crediamo e facciamo qualche prova:

$j=4$

$\sum_(n=1)^4\ n = 1+2+3+4 = 10$

$(j(j+1))/(2)=(4*5)/(2)=10$

Funziona !

$j=6$

$\sum_(n=1)^4\ n = 1+2+3+4+5+6 = 21$

$(j(j+1))/(2)=(6*7)/(2)=21$

Funziona !

$j=1.000.000$

Alt, questa somma non la calcoliamo in modo esplicito, a farla a mano ci mettiamo un giorno.

E allora come facciamo a essere sicuri che $\sum_(n=1)^(1.000.000)\ n = 1/2 (1.000.000)(1.000.001) = ???$

Quindi come faccio ? La dimostro per induzione.
Se riesco a dimostrare che se è vera per $j$ è vera anche per $j+1$ ho vinto. Perchè se è vera per 5 è vera per 6, da 6 a 7, da 7 a 8, e vado avanti quanto voglio.

Quindi abbiamo $\sum_(n=1)^j\ n = (j(j+1))/2$

gli devo aggiungere il numero successivo, $j+1$

$(j(j+1))/2 + (j+1) = (j^2+3j+2)/(2)$ chiamiamo questa formula (a).

Questa formula non è altro che la sommatoria $\sum_(n=1)^(j+1)n=(\sum_(n=1)^(j)n)+(j+1)$ spezzata.

Cioè ho spezzato $\sum_(n=1)^(j+1)n$ in due pezzi $(\sum_(n=1)^(j)n)$ e $(j+1)$

(Posso anche spezzare le sommatorie in altri modi, esempio $\sum_(n=1)^(100)n=\sum_(n=1)^(50)n+\sum_(n=51)^(100)n$, ma non è molto utile).

Poi attenzione adesso, prendo la stessa formula (a) con una lettera diversa così non si confondono

$(k(k+1))/2$ e devo valutarla per il numero successivo. Cosa vuol dire ? Che dovunque c'è scritto $k$ scrivo $k+1$.

$((k+1)((k+1)+1))/2$

Facciamo i calcoli: $((k+1)((k+1)+1))/2 = ((k+1)(k+2))/2 = (k^2+3k+2)/2$

Bingo ! Ho dimostrato che (a) cioè $(j^2+3j+2)/(2)$ è la stessa cosa di $(k^2+3k+2)/2$ (a parte la lettera diversa).

Adesso sono sicuro che

$\sum_(n=1)^(1.000.000)\ n = 1/2 (1.000.000)(1.000.001) = 500.000.500.000$

Molto meglio che sommare $1+2+3+4+5+6+7+...$ fino a $1.000.000$ non trovi ?

[gio73]

Molto bello il tuo post, Q.
Apprezzo la tua capacità didattica.

[ladyna1]

Complimenti e sopratutto grazie!!!