Principio del prolungamento analitico esteso a funzioni meromorfe
Buongiorno a tutti!
Ho da sottoporvi un quesito che mi è venuto in mente studiando per il corso di Variabile Complessa. Abbiamo visto, ovviamente, le funzioni olomorfe ed il teorema noto anche come principio del prolungamento analitico. E quindi utilizzando il principio del prolungamento analitico abbiamo esteso certe funzioni olomorfe su domini più grandi.
Mi stavo chiedendo se questo principio valesse anche per le funzioni meromorfe, cioè data una funzione meromorfa definita su un certo anello ed un'altra definita su di un dominio più esteso che include tale anello... è possibile ragionare come per le funzioni olomorfe?
Penso che questa domanda si può riformulare anche in modo differente, ovvero: dato che una funzione è meromorfa se e solo se è olomorfa la sua estensione alla sfera di Riemann, posso applicare il principio del prolumgamento analitico alla sfera di Riemann(o più in generale ad una superficie di Riemann)?
Grazie sempre della disponibilità e gentilezza!
Fabio
Ho da sottoporvi un quesito che mi è venuto in mente studiando per il corso di Variabile Complessa. Abbiamo visto, ovviamente, le funzioni olomorfe ed il teorema noto anche come principio del prolungamento analitico. E quindi utilizzando il principio del prolungamento analitico abbiamo esteso certe funzioni olomorfe su domini più grandi.
Mi stavo chiedendo se questo principio valesse anche per le funzioni meromorfe, cioè data una funzione meromorfa definita su un certo anello ed un'altra definita su di un dominio più esteso che include tale anello... è possibile ragionare come per le funzioni olomorfe?
Penso che questa domanda si può riformulare anche in modo differente, ovvero: dato che una funzione è meromorfa se e solo se è olomorfa la sua estensione alla sfera di Riemann, posso applicare il principio del prolumgamento analitico alla sfera di Riemann(o più in generale ad una superficie di Riemann)?
Grazie sempre della disponibilità e gentilezza!
Fabio
Risposte
Le mie conoscenze ormai sono svanite ma ricordo che la zeta di Riemann si prolungava a tutto $\CC$ sfruttando il principio del prolungamento analitico e stando alla testa che mi trovo sulle spalle ricordo che la $\zeta$ non era olomorfa ma meromorfa (ha una discontinuità per $z=1$).
Buongiorno!
Ti ringrazio molto della risposta.
Ho trovato una dimostrazione del principio del prolungamento analitico con $f,g$ definite su $M,N$ superfici di Riemann.
Per chiarirsi:
Siano $f,g : M -> N$ funzioni olomorfe su superfici di Riemann (con $M$ connessa). Se $E \subseteq M$ è tale che in esso esiste un punto di accumulazione per $M$ e su $E$ $f$ coincide con $g$, allora $f$ coincide con $g$ su tutto $M$.
La dimostrazione si basa sul mostrare che l'insieme $ B={ b \in M | \existsA \subseteq M $aperto$ | f(x)=g(x) \forall x \in A}$ è connesso, aperto e chiuso. Per dimostrare la chiusura ci si rifa al principio del pro. analitico in $\CC$, usando delle opportune carte e mostrando quindi che la frontiera di $B$ è contenuta in $B$...
In effetti mi sono reso conto che non ha molto senso parlare di estensione di funzioni meromorfe, quando loro stesse sono proprio l'estensione di funzioni olomorfe fatte con $M=N= \CC^{^} $ sfera di Riemann! Però è stato interessante scoprirlo...!
Grazie come sempre
Ti ringrazio molto della risposta.
Ho trovato una dimostrazione del principio del prolungamento analitico con $f,g$ definite su $M,N$ superfici di Riemann.
Per chiarirsi:
Siano $f,g : M -> N$ funzioni olomorfe su superfici di Riemann (con $M$ connessa). Se $E \subseteq M$ è tale che in esso esiste un punto di accumulazione per $M$ e su $E$ $f$ coincide con $g$, allora $f$ coincide con $g$ su tutto $M$.
La dimostrazione si basa sul mostrare che l'insieme $ B={ b \in M | \existsA \subseteq M $aperto$ | f(x)=g(x) \forall x \in A}$ è connesso, aperto e chiuso. Per dimostrare la chiusura ci si rifa al principio del pro. analitico in $\CC$, usando delle opportune carte e mostrando quindi che la frontiera di $B$ è contenuta in $B$...
In effetti mi sono reso conto che non ha molto senso parlare di estensione di funzioni meromorfe, quando loro stesse sono proprio l'estensione di funzioni olomorfe fatte con $M=N= \CC^{^} $ sfera di Riemann! Però è stato interessante scoprirlo...!
Grazie come sempre
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