Principio degli zeri isolati

[Agren]

Scusate, sto studiando l' analisi in campo complesso e in particolare le proprietà delle funzioni analitiche.Proprio una di queste proprietà è enunciata nel seguente teorema:

Teorema (Principio degli zeri isolati)

Sia f: A --> C una funzione analitica nell’aperto
connesso A appartenente a C . Sono equivalenti le seguenti proposizioni:
(i) esiste a(con a zero della funzione analitica) appartenente ad A tale che la derivata n-esima di f in a = 0 per ogni n >= 0;
(ii) f `e nulla in un intorno di a;
(iii) f `e nulla in A.

Corollario

Se due funzioni analitiche coincidono in un intorno di a appartenente ad A, allora coincidono ovunque ( principio di identità ).

Corollario

L'insieme degli zeri di una funzione analitica non identicamente nulla definita in A (se non è vuoto ) è costituito da punti isolati ed è privo di punti di accumulazione appartenenti ad A.


Qualcuno potrebbe spiegarmi in sostanza cosa mi dice il teorema e i relativi corollari?Grazie!!!!

[gugo82]

Il teorema è, in sostanza, come una macchinetta che fa il vuoto in una bustina di plastica... Infatti ti dice che se il grafico di una funzione analitica, anche solo in un punto, si "attacca ben bene" sul grafico della funzione identicamente nulla, allora i due grafici si attaccano dappertutto.

Conseguentemente una funzione analitica non identicamente nulla non può avere zeri d'ordine infinito interni all'aperto di olomorfia (ossia non può esistere alcun punto \( a\in A\) tale che \(f^{(n)}(a)=0\) per ogni \(n\)): quindi se \(a\) è uno zero della funzione analitica \(f\) allora esiste un \(\nu \in \mathbb{N}\) tale che \(f^{(\nu)}(a)\neq 0\) (tale numero \(\nu\) si chiama ordine dello zero).
Inoltre, l'insieme dei suoi zeri, chiamiamolo \(Z(f):=\{ a\in A:\ f(a)=0\}\), non può avere alcun punto d'accumulazione interno ad \(A\): quindi \(Z(f)\) è fatto da punti isolati e i punti di accumulazione di \(Z(f)\) (se ne esistono) possono stare unicamente su \(\partial A\).