Principio degli intervalli inclusi di Cantor
Studiando analisi mi sono trovato davanti questo principio. Avendo io seguito il corso l'anno precedente con un altro professore che non lo aveva assolutamente trattato mi sono trovato spiazzato.
la dispensa si trova a questo indirizzo: http://dm.ing.unibs.it/giacomini/dispensaan1/reali.pdf
non riesco a comprendere nemmeno l'enunciato...
ad esempio quando dice: ... [c,d] appartenente ad I per qualche d appartenente ad R...
come lo devo prendere d? appartenente al più interno degli intervalli di I ?
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la dispensa si trova a questo indirizzo: http://dm.ing.unibs.it/giacomini/dispensaan1/reali.pdf
non riesco a comprendere nemmeno l'enunciato...
ad esempio quando dice: ... [c,d] appartenente ad I per qualche d appartenente ad R...
come lo devo prendere d? appartenente al più interno degli intervalli di I ?
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Risposte
"rocksoldier":
non riesco a comprendere nemmeno l'enunciato...
ad esempio quando dice: ... [c,d] appartenente ad I per qualche d appartenente ad R...
come lo devo prendere d? appartenente al più interno degli intervalli di I ?
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$d$ è solamente un numero reale tale che $[c,d]$ appartiene alla famiglia $I$ di intervalli inclusi.
Non devi prenderlo appartenente proprio a niente, anche se poi ovviamente per come è definito apparterrà ad un certo intervallo (o anche a più di uno) della tua famiglia $I$.
L'enunciato per me è chiaro.
Qual'è il passaggio della dimostrazione che non capisci?
Io l'ho studiato quest'anno quindi ti posso dare la formulazione del mio professore che forse ti sarà più chiara:
Principio delle scatole cinesi di Cantor.
Definizione
Una scatola cinese è una famiglia di intervalli chiusi [a(n),b(n)] tali che [a(n+1),b(n+1)] è contenuto in [a(n),b(n)] per ogni n naturale
e che soddisfano alla condizione: per ogni epsilon maggiore di zero esiste un intervallo di lunghezza minore.
Il principio di Cantor dice che:
esiste alfa appartenente a R tale che l'intersezione per n da 0 a infinito della famiglia contiene alfa.
Si dimostra abbastanza facilmente che questo principio è equivalente alla completezza di R.
In sostanza per quanto a fondo tu vada a cercare tra due reali troverai sempre un altro numero, mentre per esempio questo nn vale nei razionali.
Principio delle scatole cinesi di Cantor.
Definizione
Una scatola cinese è una famiglia di intervalli chiusi [a(n),b(n)] tali che [a(n+1),b(n+1)] è contenuto in [a(n),b(n)] per ogni n naturale
e che soddisfano alla condizione: per ogni epsilon maggiore di zero esiste un intervallo di lunghezza minore.
Il principio di Cantor dice che:
esiste alfa appartenente a R tale che l'intersezione per n da 0 a infinito della famiglia contiene alfa.
Si dimostra abbastanza facilmente che questo principio è equivalente alla completezza di R.
In sostanza per quanto a fondo tu vada a cercare tra due reali troverai sempre un altro numero, mentre per esempio questo nn vale nei razionali.
[mod="Paolo90"]Mi pare sia più un argomento di Analisi questo: sposto. [/mod]
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