Principi di equivalenza delle equazioni
Salve,
Vorrei sapere se e come si possono dimostrare in modo semplice e chiaro i 2 principi di equivalenza delle equazioni.
Io ho pensato alla semplificazione rispetto alla somma e rispetto al prodotto, che sono conseguenze degli assiomi dei numeri reali.
Se a+b=a+c allora b=c.
Se ab=ac con a diverso da 0, allora b=c. Potrebbe andare bene come dimostrazione?.
Grazie.
Vorrei sapere se e come si possono dimostrare in modo semplice e chiaro i 2 principi di equivalenza delle equazioni.
Io ho pensato alla semplificazione rispetto alla somma e rispetto al prodotto, che sono conseguenze degli assiomi dei numeri reali.
Se a+b=a+c allora b=c.
Se ab=ac con a diverso da 0, allora b=c. Potrebbe andare bene come dimostrazione?.
Grazie.
Risposte
La tua non è una dimostrazione, hai solo riscritto un assioma che è vero per le strutture in cui, solitamente, sei interessato a risolvere delle equazioni. Cerca la definizione di monoide cancellativo; in particolare, ogni gruppo è un monoide cancellativo. 
Quello che intendo dire è:
Si può usare quell'assioma come dimostrazione dei principi di equivalenza delle equazioni?
Si può usare quell'assioma come dimostrazione dei principi di equivalenza delle equazioni?
Senza andare in questioni di algebra astratta, come dice killing buddha stai solo usando un assioma. Non dimostri alcunché 
semplicemente, assumi che sia valido tale assioma dove vuoi risolvere le equazioni.
semplicemente, assumi che sia valido tale assioma dove vuoi risolvere le equazioni.
Credo di aver capito, ma per fugare ogni dubbio, riformulo la questione in modo diverso.
Voi enunciate i due principi di equivalenza delle equazioni.
1)Sommando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i membri di una equazione ottengo un'altra equazione equivalente a quella di partenza
2)Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da 0 entrambi i membri di una equazione ottengo un'altra equazione equivalente a quella di partenza.
E se vi venisse chiesto, perché valgono questi principi?
Come lo spieghereste in modo chiaro ed elementare?
Voi enunciate i due principi di equivalenza delle equazioni.
1)Sommando o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i membri di una equazione ottengo un'altra equazione equivalente a quella di partenza
2)Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da 0 entrambi i membri di una equazione ottengo un'altra equazione equivalente a quella di partenza.
E se vi venisse chiesto, perché valgono questi principi?
Come lo spieghereste in modo chiaro ed elementare?
Premesso che il crossposting non si fa e che sei passato dalle medie a killing_buddha ( 
), se vuoi qualcosa di veramente elementare allora pensa alle mele: un mucchietto di cinque mele è la stessa cosa che avere un mucchietto da tre e un mucchietto da due; se alle due situazioni aggiungi una mela (o ne sottrai una per parte mangiandole) l'uguaglianza rimane.
Cordialmente, Alex
), se vuoi qualcosa di veramente elementare allora pensa alle mele: un mucchietto di cinque mele è la stessa cosa che avere un mucchietto da tre e un mucchietto da due; se alle due situazioni aggiungi una mela (o ne sottrai una per parte mangiandole) l'uguaglianza rimane.Cordialmente, Alex
Molto banalmente l'$=$ ti dice che a destra e a sinistra c'è lo stesso numero, seppur scritto in modo diverso. Sommare e moltiplicare qualcosa allo stesso numero dà lo stesso risultato. E' semplice
"Weierstress":
Molto banalmente l'$=$ ti dice che a destra e a sinistra c'è lo stesso numero, seppur scritto in modo diverso. Sommare e moltiplicare qualcosa allo stesso numero dà lo stesso risultato. E' semplice
Certo se fosse così semplice... che cos'è un numero, e che cos'è un "uguale", e che cos'è un risultato?
Se vi venisse chiesto, perché valgono questi principi?
Come lo spieghereste in modo chiaro ed elementare?
Vuoi una spiegazione chiara, o vuoi una spiegazione elementare? Le due cose cozzano a vicenda, specie in questioni così fondamentali.
Il punto è che queste equazioni fanno parte delle proprietà di un anello, non della sua definizione. Non ha senso chiedersi se sono vere, piuttosto ha senso chiedersi se esse valgano internamente al modello che si studia di volta in volta.
Credo che, per come sia stata posta la domanda, all'OP interessi relativamente poco di questioni complicate di algebra astratta, logica, fondamenti, o compagnia bella. Sono sicuro che si possano tirare fuori un paio di categorie per spiegare il tutto nel modo più astratto possibile ma temo sarebbe fuori luogo.
Ammetto che di semplice, se uno poi vuole essere pedante (come per inciso è giusto essere) il mio post precedente non aveva nulla: dà per scontati concetti che in realtà sono estremamente complessi. Ma al livello a cui siamo credo possa bastare.
Sono curioso: che risposte daresti a queste domande? Io di certo non mi sento in grado di rispondere, almeno non in un modo che possa risultarti soddisfacente
Ammetto che di semplice, se uno poi vuole essere pedante (come per inciso è giusto essere) il mio post precedente non aveva nulla: dà per scontati concetti che in realtà sono estremamente complessi. Ma al livello a cui siamo credo possa bastare.
Sono curioso: che risposte daresti a queste domande? Io di certo non mi sento in grado di rispondere, almeno non in un modo che possa risultarti soddisfacente
Credo direi questo.
Esiste una definizione, che è quella di monoide, ovvero una struttura algebrica fatta da una operazione binaria su un insieme non vuoto $X$, che gode della proprietà associativa e della presenza di un elemento neutro.
Questa la definizione nuda; non è nemmeno la più generale possibile che si può chiedere ad un insieme (se togli l'elemento neutro hai un semigruppo; se togli l'associatività hai un cosiddetto magma; ci sono tutte le combinazioni sensate, per esempio un magma unitario è esattamente la cosa che ti aspetti).
Esistono strutture astratte che sono magmi, piuttosto vicine all'intuizione quotidiana: per esempio prendere due numeri naturali, ed elevare il primo al secondo, è un'operazione che non ha nessuna proprietà particolare: $x^{(y^z)}$ è molto diverso da $(x^y)^z$ -è questo il motivo per cui è essenziale parentesizzare gli operandi per evitare ambiguità.
Esistono strutture astratte che sono semigruppi: l'insieme $S=3\mathbb Z$ di tutti i mutlipli di 3, come sottoinsieme di $\mathbb Z$, è un semigruppo rispetto alla moltiplicazione (1, che è l'unico candidato possibile per fare da elemento neutro, non ha speranze di appartenere a $S$).
Esistono monoidi: ogni anello unitario è, per esempio, la "giunzione" di un gruppo abeliano $(R,+)$ con un monoide $(R,\times)$.
Ci sono, tra questi, dei monoidi che hanno proprietà aggiuntive e più belle, perché più vicine alla intuizione fisica che ci ha fatto astrarre quegli assiomi. Per esempio, c'è pieno di anelli che hanno la proprietà per cui $ab=ba$; e allo stesso modo ci sono un sacco di anelli dove $ab=0$ implica che a oppure $b$ è uguale a zero, o anelli dove $ab=cb$ implica che $a=c$. Ciascuna di queste proprietà merita un nome particolare. Nel primo caso si chiama anello commutativo; nel secondo dominio di integrità o anello integro; nel terzo non esiste, che io sappia, un nome specifico: per anelli commutativi, un po' di lavoro è sufficiente a dimostrare che equivale alla seconda proprietà, quindi il nome anello cancellativo non è entrato nella moda dei tassonomisti.
Saprai certamente fare un esempio di anello commutativo. Ci sono anelli che non sono commutativi: prendi l'anello delle matrici 2x2 a coefficienti reali. E' pieno di matrici $A,B$ tali che $AB=BA$.
Ci sono anelli che non sono cancellativi (ancora una volta, le matrici 2x2 reali vanno bene a trovare un controesempio).
In effetti, nota che ho semplificato un po' la discussione; la struttura di anello non è davvero necessaria, quel che è necessario è la struttura di semigruppo per ragionamenti che coinvolgono la "moltiplicazione" e quella di gruppo abeliano per ragionamenti che coinvolgono la "somma". Esiste, infatti, la nozione di semigruppo cancellativo data in maniera indipendente e studiata in maniera indipendente (un altro esempio di uso dei semigruppi è questo).
Quelle che si chiamano "proprietà di cancellazione" sono dunque (almeno finché si considerano anelli commutativi) solamente proprietà desunte dagli assiomi di anello:
Esiste una definizione, che è quella di monoide, ovvero una struttura algebrica fatta da una operazione binaria su un insieme non vuoto $X$, che gode della proprietà associativa e della presenza di un elemento neutro.
Questa la definizione nuda; non è nemmeno la più generale possibile che si può chiedere ad un insieme (se togli l'elemento neutro hai un semigruppo; se togli l'associatività hai un cosiddetto magma; ci sono tutte le combinazioni sensate, per esempio un magma unitario è esattamente la cosa che ti aspetti).
Esistono strutture astratte che sono magmi, piuttosto vicine all'intuizione quotidiana: per esempio prendere due numeri naturali, ed elevare il primo al secondo, è un'operazione che non ha nessuna proprietà particolare: $x^{(y^z)}$ è molto diverso da $(x^y)^z$ -è questo il motivo per cui è essenziale parentesizzare gli operandi per evitare ambiguità.
Esistono strutture astratte che sono semigruppi: l'insieme $S=3\mathbb Z$ di tutti i mutlipli di 3, come sottoinsieme di $\mathbb Z$, è un semigruppo rispetto alla moltiplicazione (1, che è l'unico candidato possibile per fare da elemento neutro, non ha speranze di appartenere a $S$).
Esistono monoidi: ogni anello unitario è, per esempio, la "giunzione" di un gruppo abeliano $(R,+)$ con un monoide $(R,\times)$.
Ci sono, tra questi, dei monoidi che hanno proprietà aggiuntive e più belle, perché più vicine alla intuizione fisica che ci ha fatto astrarre quegli assiomi. Per esempio, c'è pieno di anelli che hanno la proprietà per cui $ab=ba$; e allo stesso modo ci sono un sacco di anelli dove $ab=0$ implica che a oppure $b$ è uguale a zero, o anelli dove $ab=cb$ implica che $a=c$. Ciascuna di queste proprietà merita un nome particolare. Nel primo caso si chiama anello commutativo; nel secondo dominio di integrità o anello integro; nel terzo non esiste, che io sappia, un nome specifico: per anelli commutativi, un po' di lavoro è sufficiente a dimostrare che equivale alla seconda proprietà, quindi il nome anello cancellativo non è entrato nella moda dei tassonomisti.
Saprai certamente fare un esempio di anello commutativo. Ci sono anelli che non sono commutativi: prendi l'anello delle matrici 2x2 a coefficienti reali. E' pieno di matrici $A,B$ tali che $AB=BA$.
Ci sono anelli che non sono cancellativi (ancora una volta, le matrici 2x2 reali vanno bene a trovare un controesempio).
In effetti, nota che ho semplificato un po' la discussione; la struttura di anello non è davvero necessaria, quel che è necessario è la struttura di semigruppo per ragionamenti che coinvolgono la "moltiplicazione" e quella di gruppo abeliano per ragionamenti che coinvolgono la "somma". Esiste, infatti, la nozione di semigruppo cancellativo data in maniera indipendente e studiata in maniera indipendente (un altro esempio di uso dei semigruppi è questo).
Quelle che si chiamano "proprietà di cancellazione" sono dunque (almeno finché si considerano anelli commutativi) solamente proprietà desunte dagli assiomi di anello:
[*:2wbxzxb1] è sempre vero che $a+c=b+c$ implica che $a=b$ in un anello, perché $(R,+)$ è un gruppo abeliano, e un gruppo abeliano è un particolare monoide cancellativo, [/*:m:2wbxzxb1]
[*:2wbxzxb1] ed è sempre vero che $ab=cb$ implica $a=c$ in un anello (commutativo e) integro (dove cioè $ab=0$ implica $a$ o $b$ uguali a zero). Tra gli anelli commutativi e integri c'è, ovviamente, $\mathbb Z$, in cui probabilmente vive l'intuizione di OP.[/*:m:2wbxzxb1][/list:u:2wbxzxb1]
Fin qui, la matematica.
Ora due parole sulla meta-matematica di questo discorso. L'algebra astratta elementare fa questo lavoro di categorizzazione, di tassonomia, studiando quali assiomi di una struttura sono necessari alla dimostrazione di un asserto, e trovando esempi per ciascuna proprietà o per la mancanza della proprietà suddetta. Essere esposti a questa tassonomia presto nel proprio processo di apprendimento è fondamentale, e certamente il tempo speso ad orientarsi tra queste definizioni colorite è ben investito.
Non c'è niente di surreale nell'aspettarsi che un individuo dotato della capacità di ragionare e della voglia di capire venga a contatto e assimili questa tassonomia. In fin dei conti, ne ha assimilate di più complesse (la struttura della tavola periodica degli elementi) e/o di più irrazionali e malfondate (le declinazioni latine) nella fascia d'età tra 14 e 18 anni.
Ti ringrazio per la risposta esauriente, è un discorso molto interessante che merita di essere approfondito.
Adesso l'OP ha avuto tutto lo spettro possibile di risposte, dalle mele e dai numeri agli anelli commutativi integri
Adesso l'OP ha avuto tutto lo spettro possibile di risposte, dalle mele e dai numeri agli anelli commutativi integri
Ringrazio per le risposte.
Sono al primo anno e sto seguendo il corso di Analisi 1 per ingegneria per cui le cose esageratamente astratte e lontane dalla realtà poco mi servono. La mia domanda era """"quasi""""" di curiosità. Cioè ho sempre saputo questi 2 principi di equivalenza delle equazioni, ma ora per fugare OGNI dubbio anche rispetto ai passaggi più elementari (come le equazioni), mi interessava sapere se quei principi derivassero da qualcosa di più basilare, come gli assiomi dei numeri reali che ho visto nelle prime lezioni del corso di analisi 1.
è vero, è intuitivo il motivo per cui valgono, mi chiedevo solo se fosse possibile spiegarli da un punto di vista più matematico e meno intuitivo. In ogni caso gli esempi intuivi (quelli di weierstress e axpgn), in effetti, rendono al meglio l'idea.
Grazie ancora.
Sono al primo anno e sto seguendo il corso di Analisi 1 per ingegneria per cui le cose esageratamente astratte e lontane dalla realtà poco mi servono. La mia domanda era """"quasi""""" di curiosità. Cioè ho sempre saputo questi 2 principi di equivalenza delle equazioni, ma ora per fugare OGNI dubbio anche rispetto ai passaggi più elementari (come le equazioni), mi interessava sapere se quei principi derivassero da qualcosa di più basilare, come gli assiomi dei numeri reali che ho visto nelle prime lezioni del corso di analisi 1.
è vero, è intuitivo il motivo per cui valgono, mi chiedevo solo se fosse possibile spiegarli da un punto di vista più matematico e meno intuitivo. In ogni caso gli esempi intuivi (quelli di weierstress e axpgn), in effetti, rendono al meglio l'idea.
Grazie ancora.
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