Primo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

[iH8u]

Sia $f in C^1([a,b],mathbb(R))$, allora:

$int_(a)^(b) f'(x) dx = f(b)-f(a) $

Dimostrazione:

Se $sigma = {x_0,x_1,...,x_n} in sum_([a,b])$ pplicando Lagrange a ciascun intervallo $[x_(i-1),x_i]$, otteniamo che esiste una scelta di punti $c(sigma)=(c_1,c_2,...,c_n)$ con $c_i in [x_(i-1)-x_i]$, per cui:

$f(b) - f(a) = sum_(i=1)^(n)(f(x_i)-f(x_(i-1)))=sum_(i=1)^(n)f'(c_i)(x_i-x_(i-1)) $

L'ultima somma scritta è una somma di Rienmann, pertanto, $AA epsilon in mathbb(R)_(+)^(*), EE sigma_epsilon in sum_([a,b])$, tale che, per ogni scelta di punti $c(sigma_epsilon)$, si abbia:

$|int_(a)^(b) f'(x) dx - S_R(f';sigma_epsilon,c(sigma_epsilon)| ≤ epsilon$

Ne consegue la tesi.

Il mio dubbio sta nei primi passaggi:

$sum_(i=1)^(n)(f(x_i)-f(x_(i-1)))=sum_(i=1)^(n)f'(c_i)(x_i-x_(i-1))$,

che $f(b) - f(a)$ sia $sum_(i=1)^(n)(f(x_i)-f(x_(i-1)))$ non ho alcun dubbio, è la somma di Riemann con la derivata che mi blocca.

Qualcuno di disponibile per illuminarmi?

Grazie in anticipo.

[stefansson]

C'è scritto alla prima riga! Applicando il teorema di Lagrange ad ogni intervallo $[x_{i-1},x_i]$ sai che esiste $c_{i}in(x_{i-1},x_i)$ tale che $f'(c_i)=(f(x_i)-f(x_{i-1}))/(x_i-x_{i-1})$