Primo teorema fondamentale del calcolo integrale
Salve a tutti! 
Avrei bisogno di una spiegazione della dimostrazione del primo teorema fondamentale del calcolo integrale... Il mio prof l’ha fatta in questo modo (metto l’immagine perché faccio un po' di casino a scriverla!)
http://imageshack.us/photo/my-images/191/iy4.png/
Allora io finora ho capito che si può applicare il teorema di Lagrange per il fatto che la funzione è continua e derivabile nell’intervallo, tuttavia non capisco la scelta dei punti, non mi è chiaro perché prende dei punti e in che modo lo fa...
f(b)-f(a)=[size=150]Σ[/size]....=[size=150]Σ[/size].... (le due sommatorie che cosa stanno ad indicare?)
[size=150]|∫[/size] .... - S[size=50]R[/size]...[size=150]|[/size] [size=150]≤ ε [/size] (perchè?) (è la prima delle due disequazioni)
Giuro che ho appena un attimo di tempo cerco di impararmi per bene come si scrivono le varie formule!
Avrei bisogno di una spiegazione della dimostrazione del primo teorema fondamentale del calcolo integrale... Il mio prof l’ha fatta in questo modo (metto l’immagine perché faccio un po' di casino a scriverla!)
http://imageshack.us/photo/my-images/191/iy4.png/
Allora io finora ho capito che si può applicare il teorema di Lagrange per il fatto che la funzione è continua e derivabile nell’intervallo, tuttavia non capisco la scelta dei punti, non mi è chiaro perché prende dei punti e in che modo lo fa...
f(b)-f(a)=[size=150]Σ[/size]....=[size=150]Σ[/size].... (le due sommatorie che cosa stanno ad indicare?)
[size=150]|∫[/size] .... - S[size=50]R[/size]...[size=150]|[/size] [size=150]≤ ε [/size] (perchè?) (è la prima delle due disequazioni)
Giuro che ho appena un attimo di tempo cerco di impararmi per bene come si scrivono le varie formule!
Risposte
"eleonoraponti":
Salve a tutti!
Avrei bisogno di una spiegazione della dimostrazione del primo teorema fondamentale del calcolo integrale... Il mio prof l’ha fatta in questo modo (metto l’immagine perché faccio un po' di casino a scriverla!)
http://imageshack.us/photo/my-images/191/iy4.png/
Allora io finora ho capito che si può applicare il teorema di Lagrange per il fatto che la funzione è continua e derivabile nell’intervallo, tuttavia non capisco la scelta dei punti, non mi è chiaro perché prende dei punti e in che modo lo fa...
f(b)-f(a)=[size=150]Σ[/size]....=[size=150]Σ[/size].... (le due sommatorie che cosa stanno ad indicare?)
[size=150]|∫[/size] .... - S[size=50]R[/size]...[size=150]|[/size] [size=150]≤ ε [/size] (perchè?) (è la prima delle due disequazioni)
Giuro che ho appena un attimo di tempo cerco di impararmi per bene come si scrivono le varie formule!
Io no so perchè non fanno degli esempi pratici nei libri, forse non si vuole che la gente capisca, o forse si pensa che uno debba fare da solo. Boh...
f(b)-f(a)=[size=150]Σ[/size]....=[size=150]Σ[/size].... (le due sommatorie che cosa stanno ad indicare?)
Se ad esempio ho l'intervallo $[a,e]$ suddiviso tramite i punti $a,b,c,d,e$, guarda cosa succede:
$f(e)-f(a)=f(e)-f(d)+f(d)-f(c)+f(c)-f(b)+f(b)-f(a)=\sum_(i=a)^d f(i+1)-f(i)$
poi prende ogni singolo termine della sommatoria, cioè ad esempio $f(b)-f(a)$ e dice che per il teorema di Lagrange esiste un punto $k$, tra $a$ e $b$ dove $f'(k)(b-a)=f(b)-f(a)$.
Tutto qui.
|∫ .... - SR...| ≤ ε (perchè?) (è la prima delle due disequazioni)
Perchè ad un certo punto l'autore fa notare che l'ultima sommatoria si può vedere come l'area i tanti rettangoli, calcolata come base x altezza, esempio $f'(k)(b-a)$ altezza $f'(c)$ e base $(b-a)$.
Se ti ricordi la definizione di integrale secondo Riemann, è il limite dell'area di tanti rettangolini (detta molto alla buona).
Chiaramente, più $\epsilon$ diventa piccolo, più il numero delle suddivisioni dovrà crescere, per fare in modo che la sommatoria diventi sempre più uguale all'integrale.
E' chiaro adesso ?
Perfetto! Ora è molto più chiaro! Grazie mille! 
@ eleonoraponti: Che libro è?
Elementi di analisi matematica, volume 1
Barozzi, Dore, Obrecht
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