Primo criterio di integrabilità

[anto_zoolander]

we

devo dimostrare un teorema di cui il libro non propone la dimostrazione.

sia $IsubsetRR$ un compatto e $f:I->RR$ una funzione limitata.
$f$ è integrabile se e solo se $forallepsilon>0$ esistono $u,v$ a gradino tali che

$u(x)leqf(x)leqv(x),forallx inI$

$J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u)

dim <=

definisco

$A={J_(a)^(b)(v):v$ a gradino,$v(x)geqf(x)forallx inI}$, $Inf(A)=int_(I)^(+)f(x)dx$

$B={J_(a)^(b)(u):u$ a gradino,$u(x)leqf(x)forallx inI}$, $Sup(B)=int_(I)^(-)f(x)dx$

$A-B={J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u):J_(a)^(b)(v)inA,J_(a)^(b)(u)inB}$

il mio obiettivo ora è di mostrare che $Inf(A-B)=0$

so che $Inf(A-B)=Inf(A)-Sup(B)$

da questo ottengo che, poiché $Inf(A)-Sup(B)leqa-b
e in particolare dal fatto che per ipotesi,
$u(x)leqv(x)forallx inI$ ho che $J_(a)^(b)(u)leqJ_(a)^(b)(v)<=> J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u)geq0$

dunque sappiamo che $0$ è un minorante di $A-B$ e in particolare comunque preso $epsilon>0$ esiste un elemento di $A-B$ tale che $a-b Inf(A)=Sup(B) => f$ integrabile

dim =>

prendo $A,B,A-B$ come precedentemente

per ipotesi $f$ è integrabile dunque $Inf(A)=Sup(B) => Inf(A-B)=0$

dunque $forall epsilon>0 existsJ_(a)^(b)(v)inA,J_(a)^(b)(u)inB:J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u)
inoltre per come sono stati definiti gli insiemi si ha che $u(x)leqf(x)leqv(x)$
infatti i due integrali a gradini appartengono ad $A,B$ e quindi $u$ minora $f$ e $v$ la maggiora.

Cita

Segnala

---

Risposte

Bremen000

4 mag 2017, 19:26

Ciao, per il primo pezzo, se ho ben capito dimostri prima che $0$ è un minorante di $A-B$ e poi sfruttando l'ipotesi che
$$ \forall \varepsilon >0 \quad \exists v_{\varepsilon}, u_{\varepsilon} : \quad J_a^b(v_{\varepsilon})-J_a^b(u_{\varepsilon}) < \varepsilon \Rightarrow \forall \varepsilon >0 \quad \exists a_{\varepsilon} \in A, b_{\varepsilon} \in B : a_{\varepsilon}-b_{\varepsilon}< \varepsilon $$
hai esattamente la definizione di $\text{inf}(A-B)$ che quindi è $0$.
Poi sfruttando $\text{inf}(A-B)=\text{inf}(A)-\text{sup}(B)$ hai la definizione di integrabilità di $f$.
Ho ricapitolato perché in particolare questo

"anto_zoolander":
da questo ottengo che, poiché $Inf(A)-Sup(B)leqa-b

non è giusto secondo me scritto così. Dimmi se non ho capito qualcosa.

Per il secondo pezzo secondo me tutto giusto tranne un fatto: semplicemente per poter parlare di $\text{inf}(A-B)$ bisogna dimostrare che tale insieme non è vuoto e dunque che non sono vuoti $A$ e $B$. Questo è banale perché le funzioni $v(x)=\underset{x \in I}{\text{sup}}(f(x))$ e $u(x)=\underset{x \in I}{\text{inf}}(f(x))$ sono ben definite.

Cita

Segnala

---

anto_zoolander

6 mag 2017, 12:21

Ciao

Si per quanto riguarda => mi sono dimenticato questo piccolo passo. Il bello che la domanda me l'erocposta

Per quanto riguarda <= e in particolare quanto citi,

So che $Inf(A-B)leqa-b, forallainA,binB$
Dalla definizione di estrem inferiore ho che,

$forallepsilon>0existscinA-B:c Ora posto $c=a-b=J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u)$

Ho che $forallepsilon>0existscinA-B,c=J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u):c
E quindi si ha quanto voluto, ovvero che comunque preso $epsilon>0$ esistono due funzioni a gradini $u,v$ tali che

$J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u)

Naturalmente questo è supportato dal fatto c'è se $c=alpha-beta$ allora $alphainA,betainB$
Dunque se $alphainA=>alpha=J_(a)^(b)(v)$ e $v$ è a gradini tale che $v(x)geqf(x),forallx inI$
Analogo per $beta$ da cui si ottiene che $u(x)leqf(x)leqv(x)$

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[Bremen000]

Ciao, per il primo pezzo, se ho ben capito dimostri prima che $0$ è un minorante di $A-B$ e poi sfruttando l'ipotesi che
$$ \forall \varepsilon >0 \quad \exists v_{\varepsilon}, u_{\varepsilon} : \quad J_a^b(v_{\varepsilon})-J_a^b(u_{\varepsilon}) < \varepsilon \Rightarrow \forall \varepsilon >0 \quad \exists a_{\varepsilon} \in A, b_{\varepsilon} \in B : a_{\varepsilon}-b_{\varepsilon}< \varepsilon $$
hai esattamente la definizione di $\text{inf}(A-B)$ che quindi è $0$.
Poi sfruttando $\text{inf}(A-B)=\text{inf}(A)-\text{sup}(B)$ hai la definizione di integrabilità di $f$.
Ho ricapitolato perché in particolare questo

"anto_zoolander":
da questo ottengo che, poiché $Inf(A)-Sup(B)leqa-b

non è giusto secondo me scritto così. Dimmi se non ho capito qualcosa.

Per il secondo pezzo secondo me tutto giusto tranne un fatto: semplicemente per poter parlare di $\text{inf}(A-B)$ bisogna dimostrare che tale insieme non è vuoto e dunque che non sono vuoti $A$ e $B$. Questo è banale perché le funzioni $v(x)=\underset{x \in I}{\text{sup}}(f(x))$ e $u(x)=\underset{x \in I}{\text{inf}}(f(x))$ sono ben definite.

[anto_zoolander]

Ciao

Si per quanto riguarda => mi sono dimenticato questo piccolo passo. Il bello che la domanda me l'erocposta

Per quanto riguarda <= e in particolare quanto citi,

So che $Inf(A-B)leqa-b, forallainA,binB$
Dalla definizione di estrem inferiore ho che,

$forallepsilon>0existscinA-B:c Ora posto $c=a-b=J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u)$

Ho che $forallepsilon>0existscinA-B,c=J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u):c
E quindi si ha quanto voluto, ovvero che comunque preso $epsilon>0$ esistono due funzioni a gradini $u,v$ tali che

$J_(a)^(b)(v)-J_(a)^(b)(u)

Naturalmente questo è supportato dal fatto c'è se $c=alpha-beta$ allora $alphainA,betainB$
Dunque se $alphainA=>alpha=J_(a)^(b)(v)$ e $v$ è a gradini tale che $v(x)geqf(x),forallx inI$
Analogo per $beta$ da cui si ottiene che $u(x)leqf(x)leqv(x)$

Cita

Segnala