Primitive forme differenziali in aperti differenti
Ho una forma differenziale di cui ricavare le primitive.
Questa forma differenziale è definita in $RR^2$ tranne l'asse $x=0$ ed è ivi chiusa.
Ora io so che in aperti differenti, le primitive possono anche non differire per solo una costante.
Per ricavare le primitive normalmente ne calcolo alternativamente gli integrali (per riassumere).
Il problema è, come faccio a determinare due primitive diverse?
Questa forma differenziale è definita in $RR^2$ tranne l'asse $x=0$ ed è ivi chiusa.
Ora io so che in aperti differenti, le primitive possono anche non differire per solo una costante.
Per ricavare le primitive normalmente ne calcolo alternativamente gli integrali (per riassumere).
Il problema è, come faccio a determinare due primitive diverse?
Risposte
E' mal posta la domanda. "In aperti differenti le primitive possono anche non differire per una costante" non significa nulla. La proposizione giusta è: "in un aperto connesso, due primitive di una stessa forma differenziale differiscono per una costante", quindi se il dominio è costituito da due componenti connesse come in questo caso si avranno due costanti, una per ciascuna componente connessa. Fine. Il resto sono fatti pratici che conviene illustrare su un esempio concreto. Portalo e lo discutiamo.
Se ho ad esempio questa forma differenziale:
$ \omega = 1/x dx + 1/y dy $
Questa sarà definita in $RR^2$ tranne i punti degli assi, quindi ci troviamo 4 aperti connessi differenti.
La forma differenziale è esatta in tutti e quattro gli aperti.
Le primitive che mi trovo sono:
$ f(x,y) = log|x| + log|y| + c $
Qui ad esempio nei vari quadranti, le primitive differiscono per una costante, giusto?
$ \omega = 1/x dx + 1/y dy $
Questa sarà definita in $RR^2$ tranne i punti degli assi, quindi ci troviamo 4 aperti connessi differenti.
La forma differenziale è esatta in tutti e quattro gli aperti.
Le primitive che mi trovo sono:
$ f(x,y) = log|x| + log|y| + c $
Qui ad esempio nei vari quadranti, le primitive differiscono per una costante, giusto?
Giusto. Allora, la famiglia globale delle primitive qual è?
Dovrebbe essere, in base al quadrante, $log|x|+log|y|$ sommata a quattro differenti costanti $c_1, c_2, c_3, c_4$. Giusto?
Invece esistono funzioni "elementari" (nel senso, non definite per casi ma composte da somme, rapporti, esponenziali, logaritmi, ecc.) che ammettono primitive diverse non solo per una costante?
Invece esistono funzioni "elementari" (nel senso, non definite per casi ma composte da somme, rapporti, esponenziali, logaritmi, ecc.) che ammettono primitive diverse non solo per una costante?
Mmmh, non mi piace molto questa domanda. Non ragionare in questi termini, così si faceva in passato ma non si va lontano. Una funzione "elementare" non è da considerarsi diversa da una qualsiasi altra funzione. E, si, anche le funzioni "elementari" possono fare scherzi strani: prendi ad esempio $1/(tan x)$ e vedi un po' come è fatta la sua famiglia delle primitive.
Comunque la famiglia delle primitive è quella, certo la scrittura corretta sarebbe
$F(x, y)={(log x + log y + c_1, x>0\ y>0), (log (-x) + log y + c_2, x<0\ y>0), (log (-x) + log (-y) + c_3, x<0\ y<0), (log x + log (-y) + c_4, x>0\ y<0):}$
Comunque la famiglia delle primitive è quella, certo la scrittura corretta sarebbe
$F(x, y)={(log x + log y + c_1, x>0\ y>0), (log (-x) + log y + c_2, x<0\ y>0), (log (-x) + log (-y) + c_3, x<0\ y<0), (log x + log (-y) + c_4, x>0\ y<0):}$
"dissonance":
Mmmh, non mi piace molto questa domanda. Non ragionare in questi termini, così si faceva in passato ma non si va lontano. Una funzione "elementare" non è da considerarsi diversa da una qualsiasi altra funzione. E, si, anche le funzioni "elementari" possono fare scherzi strani: prendi ad esempio $1/(tan x)$ e vedi un po' come è fatta la sua famiglia delle primitive.
Comunque la famiglia delle primitive è quella, certo la scrittura corretta sarebbe
$F(x, y)={(log x + log y + c_1, x>0\ y>0), (log (-x) + log y + c_2, x<0\ y>0), (log (-x) + log (-y) + c_3, x<0\ y<0), (log x + log (-y) + c_4, x>0\ y<0):}$
Ti ringrazio, mi hai chiarito un dubbio che mi tartassava
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