Primitive ed integrali
ho iniziato da un pò di giorni l'argomento integrali, e mi sono sorti due dubbi principali abbastanza banali ma che cmq non riesco a comprendere.
1 per calcolare l'area di un intervallo [a-b] di una funzione, il metodo operativo è trovare una primitiva e poi assegnarli i valori x=a e x=b e poi fare la differenza di questi due risultati. PERCHE' la primitiva della funzione identifica un altra funzione che ti dà in ogni singolo punto il valore dell'area della funzione di partenza? non comprendo il nesso delle primitive (o antiderivative) con il concetto di area
2 ho studiato il differenziale e la sua dimostrazione(in parole spicciole sarebbe l'incremento della funzione calcolato sulla tangente anzichè sulla curva) e la sua logica mi torna, quello che non ho capito bene è a cosa serva il differenziale, nel simbolo di integrale (dx) ho letto che identifica la base di lunghezza infinitesima degli infinitesimi rettangoli che approssimano la funzione, ma rimango tutt'ora allo scuro del suo significato applicativo
se avete dei link dove è spiegato postateli, vi risparmio ore di dattilografia
vi ringrazio
1 per calcolare l'area di un intervallo [a-b] di una funzione, il metodo operativo è trovare una primitiva e poi assegnarli i valori x=a e x=b e poi fare la differenza di questi due risultati. PERCHE' la primitiva della funzione identifica un altra funzione che ti dà in ogni singolo punto il valore dell'area della funzione di partenza? non comprendo il nesso delle primitive (o antiderivative) con il concetto di area
2 ho studiato il differenziale e la sua dimostrazione(in parole spicciole sarebbe l'incremento della funzione calcolato sulla tangente anzichè sulla curva) e la sua logica mi torna, quello che non ho capito bene è a cosa serva il differenziale, nel simbolo di integrale (dx) ho letto che identifica la base di lunghezza infinitesima degli infinitesimi rettangoli che approssimano la funzione, ma rimango tutt'ora allo scuro del suo significato applicativo
se avete dei link dove è spiegato postateli, vi risparmio ore di dattilografia
vi ringrazio
Risposte
Direi che per il primo punto devi studiare il Teorema fondamentale del calcolo interale e il significato di funzione integrale
che trovi anche qui.
la seconda domanda è un poco più spinosa, se ti basta semplicemente una risposta operativa, allora il problema si semplifica: devi mettere la variabile di integrazione perché se per integrare devi usare il metodo di sostituzione il $dx$ va sostituito con il differenziale della nuova variabile, tipo
se sostituisci ponendo $x=t^2+2t$ allora devi calcolare i differenziali che danno $dx=(2t+2) dt$ per poter sostituire al $dx$ il nuovo differenziale $(2t+2)dt$.
Se cerchi una motivazione più articolata lascio la parola a qualcun'altro.
che trovi anche qui.
la seconda domanda è un poco più spinosa, se ti basta semplicemente una risposta operativa, allora il problema si semplifica: devi mettere la variabile di integrazione perché se per integrare devi usare il metodo di sostituzione il $dx$ va sostituito con il differenziale della nuova variabile, tipo
se sostituisci ponendo $x=t^2+2t$ allora devi calcolare i differenziali che danno $dx=(2t+2) dt$ per poter sostituire al $dx$ il nuovo differenziale $(2t+2)dt$.
Se cerchi una motivazione più articolata lascio la parola a qualcun'altro.
"thomung":
non comprendo il nesso delle primitive (o antiderivative) con il concetto di area...
Considera una funzione continua e positiva $f(u)$. L'area sottesa tra il suo grafico e l'asse delle ascisse (tra il punto fisso di coordinata $a$ e il punto variabile di coordinata $x$) è una funzione di $x$, che possiamo indicare con $F(x)$, o anche con
$int_a^x f(u)du=F(x)$.
Se la variabile $x$ subisce un incremento pari a $\Deltax$, l'area sottesa passa da $F(x)$ a $F(x+\Deltax)$; la funzione $F(x)$ subisce quindi l'incremento $\DeltaF(x)=F(x+\Deltax)-F(x)$, che è rappresentato in figura dall'area tratteggiata.
L'area tratteggiata è uguale approssimativamente all'area del rettangolo ${A,x,x+\Deltax,B}$ più l'area del triangolo ${A,B,C}$, cioè $f(x)\Deltax+1/2 \Deltaf(x) \Deltax$, dove $Deltaf(x)=f(x+\Deltax)-f(x)$.
Dunque
$\DeltaF(x)=F(x+\Deltax)-F(x)=f(x)\Deltax+1/2 \Deltaf(x) \Deltax$, e quindi
$(\DeltaF)/(\Deltax)=(F(x+\Deltax)-F(x))/(\Deltax)=f(x)+1/2 \Deltaf(x)$
Passando al limite per $\Deltax$ che tende a $0$, si ottiene $(dF)/dx=f(x)$.
siete di una velocità e precisione! complimenti veramente a tutti per la disponibilità, farò altrettanto sè mi capiterà l'occasione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo