Primitive di una funzione
Sono di nuovo qui, sto cercando di capire bene la teoria sulle primitive.
Ho un esercizio che mi lascia molti dubbi. Dice: Sia F una primitiva di
$f(x)=\{((e^(sec(x))tan(x)sec(x))/(e^(sec(x))+1)^2),(0):}$
La prima se $x!inpi(1/2+ZZ)$ , la seconda se $x inpi(1/2+ZZ)$
(E già qui ho difficoltà ad interpretare il dominio di $f(x)$ . )
t.c. $F(0)=0$
Mostrare che:
$F(pi)=2/(1+e)$ e trovare, se esistono, tutte le primitive F di f che soddisfino le seguenti condizioni:
$F(-2)=0$, $F(-1)^2+F(1)=1$, $F(-1)=2F(3)$
la prima cosa a cui penso è l'integrazione, però intanto non avendo capito il dominio mi viene difficile anche impostare l'integrale. Poi ho il dubbio che ci si possa arrivare a livello teorico.. Se qualcuno potesse darmi un suggerimento
Ho un esercizio che mi lascia molti dubbi. Dice: Sia F una primitiva di
$f(x)=\{((e^(sec(x))tan(x)sec(x))/(e^(sec(x))+1)^2),(0):}$
La prima se $x!inpi(1/2+ZZ)$ , la seconda se $x inpi(1/2+ZZ)$
(E già qui ho difficoltà ad interpretare il dominio di $f(x)$ . )
t.c. $F(0)=0$
Mostrare che:
$F(pi)=2/(1+e)$ e trovare, se esistono, tutte le primitive F di f che soddisfino le seguenti condizioni:
$F(-2)=0$, $F(-1)^2+F(1)=1$, $F(-1)=2F(3)$
la prima cosa a cui penso è l'integrazione, però intanto non avendo capito il dominio mi viene difficile anche impostare l'integrale. Poi ho il dubbio che ci si possa arrivare a livello teorico.. Se qualcuno potesse darmi un suggerimento
Risposte
Ciao vivi96,
Ma quel quadrato al denominatore della $f(x) $ non ti fa sospettare qualcosa?
Ma quel quadrato al denominatore della $f(x) $ non ti fa sospettare qualcosa?
Che sia sempre crescente? 
$F(x) = \frac{e^sec(x)}{e^{sec(x)} + 1} + c $
Provare per credere...
Provare per credere...
Ma quindi l'unico modo per risolvere questo esercizio è integrare? Non si può dedurre niente dalla derivata?
Io non ho integrato, mi sono solo ricordato della ben nota regola di derivazione di un quoziente di due funzioni:
$ D[\frac{n(x)}{d(x)}] = \frac{n'(x) \cdot d(x) - n(x) \cdot d'(x)}{[d(x)]^2} $
Ponendo $d(x) := e^{sec(x)} + 1 $ e $n(x) := e^{sec(x)} $ nel secondo membro si ottiene proprio $f(x) $, quindi...
$ D[\frac{n(x)}{d(x)}] = \frac{n'(x) \cdot d(x) - n(x) \cdot d'(x)}{[d(x)]^2} $
Ponendo $d(x) := e^{sec(x)} + 1 $ e $n(x) := e^{sec(x)} $ nel secondo membro si ottiene proprio $f(x) $, quindi...
Pazzesco, grazie! Invece per quanto riguarda gli intervalli in cui è definita la $f(x)$ , sono dei punti? Non vedo bene il dominio dell'integranda, non ha infiniti punti di discontinuità a salto?
Per le uguaglianze basta che sostituisca i valori? Perchè $F(-1)^2+F(1)=1$ mi viene 1.6. Mentre per $F(-2)=0$ dovrei dimostrare che $-2 in (1/2+ZZ)$ ma ho qualche problema
"vivi96":
Pazzesco, grazie!
Prego!
"vivi96":
Non vedo bene il dominio dell'integranda
Non è banalissimo, ma potresti provare a pensarci. La funzione $f(x) $ è dispari e periodica di periodo $2\pi $.
Se però l'esercizio non chiede altro a parte ciò che hai già scritto, la cosa ti interessa anche relativamente. Infatti la prima richiesta è di determinare $c $ in modo che $F(0) = 0 $, quindi si ha:
$0 = F(0) = \frac{e}{e + 1} + c \implies c = - \frac{e}{e + 1} $
Perciò se deve essere $F(0) = 0 $ si ha:
$F(x) = \frac{e^sec(x)}{e^{sec(x)} + 1} - \frac{e}{e + 1} $
Prova adesso a proseguire con le altre richieste...
Okay, quindi se $F(-2)=0 \Rightarrow e^(sec(-2))/(e^(sec(-2))+1)+c=0 \Rightarrow c= e^(sec(-2))/(e^(sec(-2))+1) \Rightarrow
F(x)=e^(sec(-2))/(e^(sec(-2))+1)+e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1)$
e $log(F(x))=x , x>0 \Rightarrow log(e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1)+c)=x \Rightarrow e^(sec(x))/(e^(sec(x)+1))+c=e^x \Rightarrow c=e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1+e^x$
E via così? Scusa solo che non vorrei avere dubbi
F(x)=e^(sec(-2))/(e^(sec(-2))+1)+e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1)$
e $log(F(x))=x , x>0 \Rightarrow log(e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1)+c)=x \Rightarrow e^(sec(x))/(e^(sec(x)+1))+c=e^x \Rightarrow c=e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1+e^x$
E via così? Scusa solo che non vorrei avere dubbi
Nella parte in cui calcoli $F(-2) = 0 $ c'è un errore di segno, a parte il fatto che essendo $sec(-2) = sec(2) $ l'avrei scritta nella forma semplificata seguente:
$F(x) = e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1) - e^(sec(2))/(e^(sec(2))+1) $
Invece non ho proprio capito la parte in cui calcoli $log(F(x)) = x $. A cosa ti serve? Non mi pare fosse nelle richieste dell'esercizio, che già di per sè è abbastanza "calcoloso"...
$F(x) = e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1) - e^(sec(2))/(e^(sec(2))+1) $
Invece non ho proprio capito la parte in cui calcoli $log(F(x)) = x $. A cosa ti serve? Non mi pare fosse nelle richieste dell'esercizio, che già di per sè è abbastanza "calcoloso"...
Era un'altra condizione che ho omesso perchè preferivo capire prima quella parte, però ora cercando di andare avanti nell'esercizio mi incuriosiva perchè era differente!
Mi pare strana come richiesta perché in tal modo $c$ non è più una costante, ma a sua volta una funzione di $x$.
Comunque non è corretto ciò che hai scritto, perché si ha:
$ log[F(x)] = x \implies log(e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1)+c) = x \implies e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1)+c = e^x \implies c = c(x) = e^x - e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1) $
Comunque non è corretto ciò che hai scritto, perché si ha:
$ log[F(x)] = x \implies log(e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1)+c) = x \implies e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1)+c = e^x \implies c = c(x) = e^x - e^(sec(x))/(e^(sec(x))+1) $
Eh è proprio quella la richiesta, cosa cambierebbe? :/
"vivi96":
Eh è proprio quella la richiesta
Ah, allora...
"vivi96":
cosa cambierebbe?
Rispetto a che cosa? Il fatto è che non ne capisco lo scopo, se non far fare dei calcoli un po' fine a sè stessi...
Poi chiaramente se $c$ non è più una costante non è più vero che $ F'(x) = f(x) $
Rispetto al fatto che non sia pi una costante, magari è un esercizio che ha lo scopo di far pensare a qualche concetto che sinceramente non capisco. Potrebbe chiedermi di riflettere sul fatto che $F'(x)!=f(x)$
"vivi96":
magari è un esercizio che ha lo scopo di far pensare a qualche concetto che sinceramente non capisco.
Infatti, ma non lo capisco neanch'io. Forse sarebbe opportuno che riportassi il testo integrale dell'esercizio.
"vivi96":
Potrebbe chiedermi di riflettere sul fatto che $F'(x) \ne f(x) $
In che senso "Potrebbe chiedermi"? Lo fa o non lo fa? In altre parole: è nel testo dell'esercizio o no?
Mi chiede di mostrare prima che F(0)=0 e poi che $F(pi)=2/(1+e)$ partendo dalla funzione che ho postato e successivamente mi dice:
Con riferimento all’esercizio precedente trovare (se esistono) tutte le primitive F
di f che soddisfano le seguenti condizioni.
Io ne hoo postate solo alcune perchè se avessi capito il modo di proseguire avrei fatto da sola. Ma poi mi sono imbattuta in questa con il log e ci ho dovuto pensare un attimo
Con riferimento all’esercizio precedente trovare (se esistono) tutte le primitive F
di f che soddisfano le seguenti condizioni.
Io ne hoo postate solo alcune perchè se avessi capito il modo di proseguire avrei fatto da sola. Ma poi mi sono imbattuta in questa con il log e ci ho dovuto pensare un attimo
Se deve essere $F(0) = 0 $ abbiamo già visto che si ha:
$ F(x) = \frac{e^sec(x)}{e^{sec(x)} + 1} - \frac{e}{e + 1} $
Per questa $F(x) $ però non risulta affatto $F(\pi) = \frac{2}{e + 1} $; è però possibile trovare $c$ in modo che risulti $F(\pi) = 2/(1+e) $. Infatti si ha:
$ F(\pi) = (e^sec(\pi))/(e^{sec(\pi)} + 1) + c = 2/(1 + e) \implies 1/(e(1 + 1/e)) + c = 2/(1 + e) \implies c = 1/(1 + e) $
Perciò se deve essere $ F(\pi) = 2/(e + 1) $ si ha:
$ F(x) = \frac{e^sec(x)}{e^{sec(x)} + 1} + \frac{1}{e + 1} $
Ci sono un po' più di calcoli da fare per determinare $c $ in modo che risulti $ F^2(-1) + F(1) = 1 $
Infatti in tal caso si ha:
$ ((e^sec(-1))/(e^{sec(-1)} + 1) + c)^2 + (e^sec(1))/(e^{sec(1)} + 1) + c = 1 $
Sfruttando il fatto che $sec(-1) = sec(1) $, l'equazione di cui sopra si può scrivere nel modo seguente:
$ ((e^sec(1))/(e^{sec(1)} + 1) + c)^2 + (e^sec(1))/(e^{sec(1)} + 1) + c - 1 = 0 $
Per comodità conviene porre $t := (e^sec(1))/(e^{sec(1)} + 1) + c $, in modo che l'equazione precedente diventa semplicemente la seguente:
$t^2 + t - 1 = 0 $
Dopo qualche calcolo si trovano i due valori di $c$ seguenti:
$c_1 = -(sqrt(5) + 1 + (sqrt(5) + 3) e^sec(1))/(2 (1 + e^sec(1))) $
$c_2 = (sqrt(5) - 1 + (sqrt(5) - 3) e^sec(1))/(2 (1 + e^sec(1))) $
Prova tu ora a determinare $c $ in modo che si abbia $F(-1) = 2 F(3) $
$ F(x) = \frac{e^sec(x)}{e^{sec(x)} + 1} - \frac{e}{e + 1} $
Per questa $F(x) $ però non risulta affatto $F(\pi) = \frac{2}{e + 1} $; è però possibile trovare $c$ in modo che risulti $F(\pi) = 2/(1+e) $. Infatti si ha:
$ F(\pi) = (e^sec(\pi))/(e^{sec(\pi)} + 1) + c = 2/(1 + e) \implies 1/(e(1 + 1/e)) + c = 2/(1 + e) \implies c = 1/(1 + e) $
Perciò se deve essere $ F(\pi) = 2/(e + 1) $ si ha:
$ F(x) = \frac{e^sec(x)}{e^{sec(x)} + 1} + \frac{1}{e + 1} $
Ci sono un po' più di calcoli da fare per determinare $c $ in modo che risulti $ F^2(-1) + F(1) = 1 $
Infatti in tal caso si ha:
$ ((e^sec(-1))/(e^{sec(-1)} + 1) + c)^2 + (e^sec(1))/(e^{sec(1)} + 1) + c = 1 $
Sfruttando il fatto che $sec(-1) = sec(1) $, l'equazione di cui sopra si può scrivere nel modo seguente:
$ ((e^sec(1))/(e^{sec(1)} + 1) + c)^2 + (e^sec(1))/(e^{sec(1)} + 1) + c - 1 = 0 $
Per comodità conviene porre $t := (e^sec(1))/(e^{sec(1)} + 1) + c $, in modo che l'equazione precedente diventa semplicemente la seguente:
$t^2 + t - 1 = 0 $
Dopo qualche calcolo si trovano i due valori di $c$ seguenti:
$c_1 = -(sqrt(5) + 1 + (sqrt(5) + 3) e^sec(1))/(2 (1 + e^sec(1))) $
$c_2 = (sqrt(5) - 1 + (sqrt(5) - 3) e^sec(1))/(2 (1 + e^sec(1))) $
Prova tu ora a determinare $c $ in modo che si abbia $F(-1) = 2 F(3) $
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