Primitive
Su un testo delle superiori ho trovato le seguenti primitive:
$int1/(x^2+a^2) dx = ln|x+sqrt(x^2+a^2)|+c $
e
$intsqrt (a^2 - x^2) dx = 1/2 (a^2arcsen x/a + x sqrt (a^2-x2) )+c $
ok, qualcuno mi aiuterebbe a dimostrarle ?
Grazie 1000.
$int1/(x^2+a^2) dx = ln|x+sqrt(x^2+a^2)|+c $
e
$intsqrt (a^2 - x^2) dx = 1/2 (a^2arcsen x/a + x sqrt (a^2-x2) )+c $
ok, qualcuno mi aiuterebbe a dimostrarle ?
Grazie 1000.
Risposte
Il primo è sbagliato, infatti si ha:
$\int1/{x^2+a^2}dx=\int1/{a^2((x/a)^2+1)}dx=1/a^2\int1/{(x/a)^2+1}dx=1/a\int{1/a}/{(x/a)^2+1}dx=1/a atan(x/a)+c$
$\int1/{x^2+a^2}dx=\int1/{a^2((x/a)^2+1)}dx=1/a^2\int1/{(x/a)^2+1}dx=1/a\int{1/a}/{(x/a)^2+1}dx=1/a atan(x/a)+c$
Il risultato dato da Anto al primo punto è relativo a questo integrale :
$intdx/sqrt(a^2+x^2) $.
Camillo
$intdx/sqrt(a^2+x^2) $.
Camillo
Quanto al secondo integrale, per dimostrarlo
è sufficiente operare la sostituzione: $x=asint$
è sufficiente operare la sostituzione: $x=asint$
Per calcolare il secondo integrale poni $x = a*sint $ e poi per sostituzione .
Camillo
Camillo
52 secondi di vantaggio !!
Camillo
Camillo
(mamma mia che spreco un post solo per uno smile...)
Per il secondo si procede così:
$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=|a|\int\sqrt{1-(x/a)^2}dx$
Si pone $x/a=sint$ quindi ${dx}/{dt}=a cos t=>dx=a cos t dt$
$|a|\int acos^2tdt=a^2\intcos^2tdt=\int{1+cos(2t)}/2dt=a^2(t/2+1/4sin(2t))+c=a^2(t/2+1/2sintcost)+c=a^2/2(arcsin(x/a)+{x\sqrt{1-(x/a)^2}}/{a})+c=$
$=1/2(a^2arcsin(x/a)+ax\sqrt{1-(x/a)^2})+c=1/2(a^2arcsin(x/a)+x\sqrt{a^2-x^2})+c$
$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=|a|\int\sqrt{1-(x/a)^2}dx$
Si pone $x/a=sint$ quindi ${dx}/{dt}=a cos t=>dx=a cos t dt$
$|a|\int acos^2tdt=a^2\intcos^2tdt=\int{1+cos(2t)}/2dt=a^2(t/2+1/4sin(2t))+c=a^2(t/2+1/2sintcost)+c=a^2/2(arcsin(x/a)+{x\sqrt{1-(x/a)^2}}/{a})+c=$
$=1/2(a^2arcsin(x/a)+ax\sqrt{1-(x/a)^2})+c=1/2(a^2arcsin(x/a)+x\sqrt{a^2-x^2})+c$
Grazie davvero per le risposte !
Per cavallipurosangue, scusami, mi accorgo di avere delle lacune preoccupanti, hai modi
di esplicitare questo passaggio ?
$....a^2(t/2+1/2sintcost)+c=a^2/2(arcsin(x/a)+{x\sqrt{1-(x/a)^2}}/{a})+c$
In particolare, nella seconda sostituzione che succede ?
Grazie !
Per cavallipurosangue, scusami, mi accorgo di avere delle lacune preoccupanti, hai modi
di esplicitare questo passaggio ?
$....a^2(t/2+1/2sintcost)+c=a^2/2(arcsin(x/a)+{x\sqrt{1-(x/a)^2}}/{a})+c$
In particolare, nella seconda sostituzione che succede ?
Grazie !
Probabilmente ho fatto troppo alla svelta..
allora dato che avevo posto $t=arscsin(x/a)$ si ha che appunto $t/2={arcsin(x/a)}/2$ poi si ha sche $sint=sin(arscsin(x/a))=x/a$ dato che $f(f^{-1}(x))=x$
Poi sai ha $cost=cos(arcsin(x/a))$ dato che in generale $cost=\pm\sqrt{1-sin^2t}$ ora però dato che l'arcoseno è definito in $[-\pi/2,\pi/2]$ e il questo intervallo il coseno è sicuramente positivo si può allora scrivere semplicemente:
$cost=\sqrt{1-sin^2t}=\sqrt{1-(sin(arcsin(x/a)))^2}=\sqrt{1-(x/a)^2}$
Poi metti insieme il tutto.
allora dato che avevo posto $t=arscsin(x/a)$ si ha che appunto $t/2={arcsin(x/a)}/2$ poi si ha sche $sint=sin(arscsin(x/a))=x/a$ dato che $f(f^{-1}(x))=x$
Poi sai ha $cost=cos(arcsin(x/a))$ dato che in generale $cost=\pm\sqrt{1-sin^2t}$ ora però dato che l'arcoseno è definito in $[-\pi/2,\pi/2]$ e il questo intervallo il coseno è sicuramente positivo si può allora scrivere semplicemente:
$cost=\sqrt{1-sin^2t}=\sqrt{1-(sin(arcsin(x/a)))^2}=\sqrt{1-(x/a)^2}$
Poi metti insieme il tutto.
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