Primitiva for. Diff. Esatta : Integrazione sul rettangolo
Salve a tutti. Scusate per il titolo puntato, ma scriverlo in esteso era troppo lungo 
La mia domanda è puramente teorica e riguarda il teorema di integrazione sul rettangolo, per determinare una primitiva di una forma differenziale esatta.
Il teorema afferma che essendo la forma differenziale W esatta, allora l'integrale lungo una qualsiasi curva sarà solo in funzione degli estremi della stessa. Di conseguenza , il teorema in oggetto, afferma che integrando lungo una poligonale tale che f(0,0) sia 0, ricaviamo automaticamente la primitiva. E fin qui, siamo pienamente daccordo. Il mio dubbio è : dato che io la primitiva la stò cercando, come faccio a trovare una poligonale che annulli la primitiva in uno dei suoi estremi?
Piccolo esempio preso dal libro (Analisi Matematica II, Fusco - Marcellini - Sbordone), giusto per chiarire :
$\omega = (4xysqrt(y) + 1)dx + 3x^2sqrt(y)$ definita in $A = {(x,y) in (RR)^2 : y>0}$
E' facile dimostrare che è chiusa, inolte essendo definita sul piano, è esatta (forma chiusa definita in un semplicemente connesso)
E' possibile applicare il teorema in questione e quindi sceglie la poligonale di origine (0,1).
Il mio dubbio quindi è : come ha fatto, tra tutte le poligonali possibili, a scegliere questa?
Grazie mille
La mia domanda è puramente teorica e riguarda il teorema di integrazione sul rettangolo, per determinare una primitiva di una forma differenziale esatta.
Il teorema afferma che essendo la forma differenziale W esatta, allora l'integrale lungo una qualsiasi curva sarà solo in funzione degli estremi della stessa. Di conseguenza , il teorema in oggetto, afferma che integrando lungo una poligonale tale che f(0,0) sia 0, ricaviamo automaticamente la primitiva. E fin qui, siamo pienamente daccordo. Il mio dubbio è : dato che io la primitiva la stò cercando, come faccio a trovare una poligonale che annulli la primitiva in uno dei suoi estremi?
Piccolo esempio preso dal libro (Analisi Matematica II, Fusco - Marcellini - Sbordone), giusto per chiarire :
$\omega = (4xysqrt(y) + 1)dx + 3x^2sqrt(y)$ definita in $A = {(x,y) in (RR)^2 : y>0}$
E' facile dimostrare che è chiusa, inolte essendo definita sul piano, è esatta (forma chiusa definita in un semplicemente connesso)
E' possibile applicare il teorema in questione e quindi sceglie la poligonale di origine (0,1).
Il mio dubbio quindi è : come ha fatto, tra tutte le poligonali possibili, a scegliere questa?
Grazie mille
Risposte
E' arbitrario. Le primitive sono infinite e come primitiva va bene l'integrale della forma lungo una qualsiasi curva da un punto fissato al punto generico $(x,y)$. Partendo da un altro punto, troveresti un'altra primitiva che differisce dalla prima di una costante. Ovviamente la primitiva che trovi in questo modo varrà $0$ nel punto di partenza. Nell'esempio che hai postato non si poteva partire dall'origine perché la forma è definita solo sul semipiano "di sopra" aperto. Quello che dice è che in altri casi puoi partire da $(0,0)$ e otterrai l'unica primitiva tale che $f(0,0)=0$.
Perfetto, quindi integrare lungo una qualsiasi curva non è sbagliato, tranne nel caso in cui sia chiesto un vincolo particolare. Grazie mille
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